Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1924 / 1412
↖ ↑ ↗
← N 48.690960°
W 10.898438°		 ← 6 451.35 m → N 48.690960°
W 10.810547°		 →
↑
6 455.03 m
↓
↑
6 455.03 m
↓
N 48.632909°
W 10.898438°		 ← 6 458.78 m →
41 667 652 m²		 N 48.632909°
W 10.810547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1924 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1412 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4698486328125 y=0.3448486328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4698486328125 × 212)
    floor (0.4698486328125 × 4096)
    floor (1924.5)     		tx = 1924
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3448486328125 × 212)
    floor (0.3448486328125 × 4096)
    floor (1412.5)     		ty = 1412
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1924 / 1412 ti = "12/1924/1412"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1924/1412.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1924 ÷ 212
    1924 ÷ 4096     		x = 0.4697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1412 ÷ 212
    1412 ÷ 4096     		y = 0.3447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4697265625 × 2 - 1) × π
    -0.060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19021362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3447265625 × 2 - 1) × π
    0.310546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.975611781067383
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19021362} λ = -0.19021362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.975611781067383))-π/2
    2×atan(2.65278964112417)-π/2
    2×1.21030695077814-π/2
    2.42061390155628-1.57079632675     		φ = 0.84981757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19021362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.898438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84981757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.690960°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1924 KachelY 1412 -0.19021362 0.84981757 -10.898438 48.690960
    Oben rechts KachelX + 1 1925 KachelY 1412 -0.18867964 0.84981757 -10.810547 48.690960
    Unten links KachelX 1924 KachelY + 1 1413 -0.19021362 0.84880438 -10.898438 48.632909
    Unten rechts KachelX + 1 1925 KachelY + 1 1413 -0.18867964 0.84880438 -10.810547 48.632909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84981757-0.84880438) × R
    0.00101319 × 6371000     		dl = 6455.03348999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84981757-0.84880438) × R
    0.00101319 × 6371000     		dr = 6455.03348999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19021362--0.18867964) × cos(0.84981757) × R
    0.00153397999999999 × 0.66012019098618 × 6371000     		do = 6451.34576769493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19021362--0.18867964) × cos(0.84880438) × R
    0.00153397999999999 × 0.6608809198237 × 6371000     		du = 6458.78036041503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84981757)-sin(0.84880438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66012019098618-0.6608809198237)×R²
    abs(-0.18867964--0.19021362)×0.000760728837520097×R²
    0.00153397999999999×0.000760728837520097×6371000²
    0.00153397999999999×0.000760728837520097×40589641000000     		ar = 41667651.8230458m²