Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1936 / 1168
↖ ↑ ↗
← N 60.930432°
W  9.843750°		 ← 4 748.41 m → N 60.930432°
W  9.755860°		 →
↑
4 751.62 m
↓
↑
4 751.62 m
↓
N 60.887700°
W  9.843750°		 ← 4 754.78 m →
22 577 783 m²		 N 60.887700°
W  9.755860°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4727783203125 y=0.2852783203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4727783203125 × 212)
    floor (0.4727783203125 × 4096)
    floor (1936.5)     		tx = 1936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2852783203125 × 212)
    floor (0.2852783203125 × 4096)
    floor (1168.5)     		ty = 1168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1936 / 1168 ti = "12/1936/1168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1936/1168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1936 ÷ 212
    1936 ÷ 4096     		x = 0.47265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1168 ÷ 212
    1168 ÷ 4096     		y = 0.28515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47265625 × 2 - 1) × π
    -0.0546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17180585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28515625 × 2 - 1) × π
    0.4296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.34990309330078
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17180585} λ = -0.17180585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.34990309330078))-π/2
    2×atan(3.85705173843309)-π/2
    2×1.31711649169017-π/2
    2.63423298338034-1.57079632675     		φ = 1.06343666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17180585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.843750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.06343666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.930432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1936 KachelY 1168 -0.17180585 1.06343666 -9.843750 60.930432
    Oben rechts KachelX + 1 1937 KachelY 1168 -0.17027187 1.06343666 -9.755860 60.930432
    Unten links KachelX 1936 KachelY + 1 1169 -0.17180585 1.06269084 -9.843750 60.887700
    Unten rechts KachelX + 1 1937 KachelY + 1 1169 -0.17027187 1.06269084 -9.755860 60.887700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.06343666-1.06269084) × R
    0.000745820000000119 × 6371000     		dl = 4751.61922000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.06343666-1.06269084) × R
    0.000745820000000119 × 6371000     		dr = 4751.61922000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17180585--0.17027187) × cos(1.06343666) × R
    0.00153398000000002 × 0.485871211628651 × 6371000     		do = 4748.41283085521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17180585--0.17027187) × cos(1.06269084) × R
    0.00153398000000002 × 0.486522945799752 × 6371000     		du = 4754.7822201631m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.06343666)-sin(1.06269084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.485871211628651-0.486522945799752)×R²
    abs(-0.17027187--0.17180585)×0.00065173417110076×R²
    0.00153398000000002×0.00065173417110076×6371000²
    0.00153398000000002×0.00065173417110076×40589641000000     		ar = 22577783.1744838m²