Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2015 / 1505
↖ ↑ ↗
← N 43.004647°
W  2.900391°		 ← 7 146.97 m → N 43.004647°
W  2.812500°		 →
↑
7 150.75 m
↓
↑
7 150.75 m
↓
N 42.940339°
W  2.900391°		 ← 7 154.45 m →
51 132 905 m²		 N 42.940339°
W  2.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4920654296875 y=0.3675537109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4920654296875 × 212)
    floor (0.4920654296875 × 4096)
    floor (2015.5)     		tx = 2015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3675537109375 × 212)
    floor (0.3675537109375 × 4096)
    floor (1505.5)     		ty = 1505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2015 / 1505 ti = "12/2015/1505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2015/1505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2015 ÷ 212
    2015 ÷ 4096     		x = 0.491943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1505 ÷ 212
    1505 ÷ 4096     		y = 0.367431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.491943359375 × 2 - 1) × π
    -0.01611328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.05062137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.367431640625 × 2 - 1) × π
    0.26513671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.832951567798096
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05062137} λ = -0.05062137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.832951567798096))-π/2
    2×atan(2.30009762525671)-π/2
    2×1.16068450640791-π/2
    2.32136901281582-1.57079632675     		φ = 0.75057269
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05062137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.900391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75057269 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.004647°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2015 KachelY 1505 -0.05062137 0.75057269 -2.900391 43.004647
    Oben rechts KachelX + 1 2016 KachelY 1505 -0.04908739 0.75057269 -2.812500 43.004647
    Unten links KachelX 2015 KachelY + 1 1506 -0.05062137 0.74945030 -2.900391 42.940339
    Unten rechts KachelX + 1 2016 KachelY + 1 1506 -0.04908739 0.74945030 -2.812500 42.940339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75057269-0.74945030) × R
    0.00112239000000003 × 6371000     		dl = 7150.74669000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75057269-0.74945030) × R
    0.00112239000000003 × 6371000     		dr = 7150.74669000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05062137--0.04908739) × cos(0.75057269) × R
    0.00153398 × 0.731298381206282 × 6371000     		do = 7146.96926550471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05062137--0.04908739) × cos(0.74945030) × R
    0.00153398 × 0.732063455134092 × 6371000     		du = 7154.44632273391m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75057269)-sin(0.74945030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.731298381206282-0.732063455134092)×R²
    abs(-0.04908739--0.05062137)×0.000765073927810223×R²
    0.00153398×0.000765073927810223×6371000²
    0.00153398×0.000765073927810223×40589641000000     		ar = 51132905.457887m²