Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2016 / 1503
↖ ↑ ↗
← N 43.133061°
W  2.812500°		 ← 7 132.06 m → N 43.133061°
W  2.724609°		 →
↑
7 135.71 m
↓
↑
7 135.71 m
↓
N 43.068888°
W  2.812500°		 ← 7 139.54 m →
50 918 998 m²		 N 43.068888°
W  2.724609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4923095703125 y=0.3670654296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4923095703125 × 212)
    floor (0.4923095703125 × 4096)
    floor (2016.5)     		tx = 2016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3670654296875 × 212)
    floor (0.3670654296875 × 4096)
    floor (1503.5)     		ty = 1503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2016 / 1503 ti = "12/2016/1503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2016/1503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2016 ÷ 212
    2016 ÷ 4096     		x = 0.4921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1503 ÷ 212
    1503 ÷ 4096     		y = 0.366943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4921875 × 2 - 1) × π
    -0.015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04908739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366943359375 × 2 - 1) × π
    0.26611328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.836019529373779
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04908739} λ = -0.04908739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.836019529373779))-π/2
    2×atan(2.30716507217565)-π/2
    2×1.16180513026277-π/2
    2.32361026052554-1.57079632675     		φ = 0.75281393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04908739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75281393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.133061°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2016 KachelY 1503 -0.04908739 0.75281393 -2.812500 43.133061
    Oben rechts KachelX + 1 2017 KachelY 1503 -0.04755340 0.75281393 -2.724609 43.133061
    Unten links KachelX 2016 KachelY + 1 1504 -0.04908739 0.75169390 -2.812500 43.068888
    Unten rechts KachelX + 1 2017 KachelY + 1 1504 -0.04755340 0.75169390 -2.724609 43.068888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75281393-0.75169390) × R
    0.00112002999999994 × 6371000     		dl = 7135.71112999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75281393-0.75169390) × R
    0.00112002999999994 × 6371000     		dr = 7135.71112999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04908739--0.04755340) × cos(0.75281393) × R
    0.00153399 × 0.729767890820886 × 6371000     		do = 7132.05829701974m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04908739--0.04755340) × cos(0.75169390) × R
    0.00153399 × 0.730533191814215 × 6371000     		du = 7139.53762211454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75281393)-sin(0.75169390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.729767890820886-0.730533191814215)×R²
    abs(-0.04755340--0.04908739)×0.000765300993329276×R²
    0.00153399×0.000765300993329276×6371000²
    0.00153399×0.000765300993329276×40589641000000     		ar = 50918998.2445316m²