Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2016 / 1504
↖ ↑ ↗
← N 43.068888°
W  2.812500°		 ← 7 139.54 m → N 43.068888°
W  2.724609°		 →
↑
7 143.23 m
↓
↑
7 143.23 m
↓
N 43.004647°
W  2.812500°		 ← 7 147.02 m →
51 026 066 m²		 N 43.004647°
W  2.724609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1504 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4923095703125 y=0.3673095703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4923095703125 × 212)
    floor (0.4923095703125 × 4096)
    floor (2016.5)     		tx = 2016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3673095703125 × 212)
    floor (0.3673095703125 × 4096)
    floor (1504.5)     		ty = 1504
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2016 / 1504 ti = "12/2016/1504"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2016/1504.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2016 ÷ 212
    2016 ÷ 4096     		x = 0.4921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1504 ÷ 212
    1504 ÷ 4096     		y = 0.3671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4921875 × 2 - 1) × π
    -0.015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04908739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3671875 × 2 - 1) × π
    0.265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.834485548585937
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04908739} λ = -0.04908739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.834485548585937))-π/2
    2×atan(2.30362863838476)-π/2
    2×1.16124511180433-π/2
    2.32249022360866-1.57079632675     		φ = 0.75169390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04908739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75169390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.068888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2016 KachelY 1504 -0.04908739 0.75169390 -2.812500 43.068888
    Oben rechts KachelX + 1 2017 KachelY 1504 -0.04755340 0.75169390 -2.724609 43.068888
    Unten links KachelX 2016 KachelY + 1 1505 -0.04908739 0.75057269 -2.812500 43.004647
    Unten rechts KachelX + 1 2017 KachelY + 1 1505 -0.04755340 0.75057269 -2.724609 43.004647
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75169390-0.75057269) × R
    0.00112120999999998 × 6371000     		dl = 7143.2289099999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75169390-0.75057269) × R
    0.00112120999999998 × 6371000     		dr = 7143.2289099999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04908739--0.04755340) × cos(0.75169390) × R
    0.00153399 × 0.730533191814215 × 6371000     		do = 7139.53762211454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04908739--0.04755340) × cos(0.75057269) × R
    0.00153399 × 0.731298381206282 × 6371000     		du = 7147.01585652458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75169390)-sin(0.75057269))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730533191814215-0.731298381206282)×R²
    abs(-0.04755340--0.04908739)×0.000765189392067156×R²
    0.00153399×0.000765189392067156×6371000²
    0.00153399×0.000765189392067156×40589641000000     		ar = 51026066.2618947m²