Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2020 / 1508
↖ ↑ ↗
← N 42.811522°
W  2.460937°		 ← 7 169.40 m → N 42.811522°
W  2.373047°		 →
↑
7 173.11 m
↓
↑
7 173.11 m
↓
N 42.747012°
W  2.460937°		 ← 7 176.87 m →
51 453 672 m²		 N 42.747012°
W  2.373047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1508 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4932861328125 y=0.3682861328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4932861328125 × 212)
    floor (0.4932861328125 × 4096)
    floor (2020.5)     		tx = 2020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3682861328125 × 212)
    floor (0.3682861328125 × 4096)
    floor (1508.5)     		ty = 1508
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2020 / 1508 ti = "12/2020/1508"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2020/1508.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2020 ÷ 212
    2020 ÷ 4096     		x = 0.4931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1508 ÷ 212
    1508 ÷ 4096     		y = 0.3681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4931640625 × 2 - 1) × π
    -0.013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04295146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3681640625 × 2 - 1) × π
    0.263671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.82834962543457
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04295146} λ = -0.04295146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.82834962543457))-π/2
    2×atan(2.28953702682503)-π/2
    2×1.15899916950932-π/2
    2.31799833901863-1.57079632675     		φ = 0.74720201
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04295146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.460937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74720201 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.811522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2020 KachelY 1508 -0.04295146 0.74720201 -2.460937 42.811522
    Oben rechts KachelX + 1 2021 KachelY 1508 -0.04141748 0.74720201 -2.373047 42.811522
    Unten links KachelX 2020 KachelY + 1 1509 -0.04295146 0.74607611 -2.460937 42.747012
    Unten rechts KachelX + 1 2021 KachelY + 1 1509 -0.04141748 0.74607611 -2.373047 42.747012
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74720201-0.74607611) × R
    0.00112590000000001 × 6371000     		dl = 7173.10890000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74720201-0.74607611) × R
    0.00112590000000001 × 6371000     		dr = 7173.10890000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04295146--0.04141748) × cos(0.74720201) × R
    0.00153398 × 0.733593220717427 × 6371000     		do = 7169.39670125038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04295146--0.04141748) × cos(0.74607611) × R
    0.00153398 × 0.734357904656667 × 6371000     		du = 7176.86994712651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74720201)-sin(0.74607611))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.733593220717427-0.734357904656667)×R²
    abs(-0.04141748--0.04295146)×0.000764683939239785×R²
    0.00153398×0.000764683939239785×6371000²
    0.00153398×0.000764683939239785×40589641000000     		ar = 51453671.9240667m²