Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2024 / 1512
↖ ↑ ↗
← N 42.553080°
W  2.109375°		 ← 7 199.28 m → N 42.553080°
W  2.021484°		 →
↑
7 203.05 m
↓
↑
7 203.05 m
↓
N 42.488302°
W  2.109375°		 ← 7 206.75 m →
51 883 705 m²		 N 42.488302°
W  2.021484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2024 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4942626953125 y=0.3692626953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4942626953125 × 212)
    floor (0.4942626953125 × 4096)
    floor (2024.5)     		tx = 2024
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3692626953125 × 212)
    floor (0.3692626953125 × 4096)
    floor (1512.5)     		ty = 1512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2024 / 1512 ti = "12/2024/1512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2024/1512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2024 ÷ 212
    2024 ÷ 4096     		x = 0.494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1512 ÷ 212
    1512 ÷ 4096     		y = 0.369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494140625 × 2 - 1) × π
    -0.01171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03681554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.369140625 × 2 - 1) × π
    0.26171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.822213702283203
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03681554} λ = -0.03681554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.822213702283203))-π/2
    2×atan(2.2755316155812)-π/2
    2×1.15674384234268-π/2
    2.31348768468536-1.57079632675     		φ = 0.74269136
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03681554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.109375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74269136 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.553080°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2024 KachelY 1512 -0.03681554 0.74269136 -2.109375 42.553080
    Oben rechts KachelX + 1 2025 KachelY 1512 -0.03528156 0.74269136 -2.021484 42.553080
    Unten links KachelX 2024 KachelY + 1 1513 -0.03681554 0.74156076 -2.109375 42.488302
    Unten rechts KachelX + 1 2025 KachelY + 1 1513 -0.03528156 0.74156076 -2.021484 42.488302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74269136-0.74156076) × R
    0.00113059999999998 × 6371000     		dl = 7203.05259999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74269136-0.74156076) × R
    0.00113059999999998 × 6371000     		dr = 7203.05259999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03681554--0.03528156) × cos(0.74269136) × R
    0.00153398 × 0.736651134889731 × 6371000     		do = 7199.28165541913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03681554--0.03528156) × cos(0.74156076) × R
    0.00153398 × 0.737415258111804 × 6371000     		du = 7206.74942141392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74269136)-sin(0.74156076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.736651134889731-0.737415258111804)×R²
    abs(-0.03528156--0.03681554)×0.000764123222072977×R²
    0.00153398×0.000764123222072977×6371000²
    0.00153398×0.000764123222072977×40589641000000     		ar = 51883705.3285552m²