Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2079 / 1377
↖ ↑ ↗
← N 50.680797°
E  2.724609°		 ← 6 192.60 m → N 50.680797°
E  2.812500°		 →
↑
6 196.24 m
↓
↑
6 196.24 m
↓
N 50.625073°
E  2.724609°		 ← 6 199.95 m →
38 393 617 m²		 N 50.625073°
E  2.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2079 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1377 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5076904296875 y=0.3363037109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5076904296875 × 212)
    floor (0.5076904296875 × 4096)
    floor (2079.5)     		tx = 2079
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3363037109375 × 212)
    floor (0.3363037109375 × 4096)
    floor (1377.5)     		ty = 1377
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2079 / 1377 ti = "12/2079/1377"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2079/1377.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2079 ÷ 212
    2079 ÷ 4096     		x = 0.507568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1377 ÷ 212
    1377 ÷ 4096     		y = 0.336181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507568359375 × 2 - 1) × π
    0.01513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.04755340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336181640625 × 2 - 1) × π
    0.32763671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.02930110864185
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04755340} λ = 0.04755340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02930110864185))-π/2
    2×atan(2.79910887792333)-π/2
    2×1.22767155224873-π/2
    2.45534310449746-1.57079632675     		φ = 0.88454678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04755340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.724609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88454678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.680797°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2079 KachelY 1377 0.04755340 0.88454678 2.724609 50.680797
    Oben rechts KachelX + 1 2080 KachelY 1377 0.04908739 0.88454678 2.812500 50.680797
    Unten links KachelX 2079 KachelY + 1 1378 0.04755340 0.88357421 2.724609 50.625073
    Unten rechts KachelX + 1 2080 KachelY + 1 1378 0.04908739 0.88357421 2.812500 50.625073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88454678-0.88357421) × R
    0.00097256999999995 × 6371000     		dl = 6196.24346999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88454678-0.88357421) × R
    0.00097256999999995 × 6371000     		dr = 6196.24346999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04755340-0.04908739) × cos(0.88454678) × R
    0.00153399 × 0.633640190185394 × 6371000     		do = 6192.59744444701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04755340-0.04908739) × cos(0.88357421) × R
    0.00153399 × 0.634392297664295 × 6371000     		du = 6199.9478286618m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88454678)-sin(0.88357421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633640190185394-0.634392297664295)×R²
    abs(0.04908739-0.04755340)×0.000752107478900643×R²
    0.00153399×0.000752107478900643×6371000²
    0.00153399×0.000752107478900643×40589641000000     		ar = 38393616.8889403m²