Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2080 / 1438
↖ ↑ ↗
← N 47.159840°
E  2.812500°		 ← 6 645.20 m → N 47.159840°
E  2.900391°		 →
↑
6 648.90 m
↓
↑
6 648.90 m
↓
N 47.100045°
E  2.812500°		 ← 6 652.67 m →
44 208 113 m²		 N 47.100045°
E  2.900391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5079345703125 y=0.3511962890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5079345703125 × 212)
    floor (0.5079345703125 × 4096)
    floor (2080.5)     		tx = 2080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3511962890625 × 212)
    floor (0.3511962890625 × 4096)
    floor (1438.5)     		ty = 1438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2080 / 1438 ti = "12/2080/1438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2080/1438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2080 ÷ 212
    2080 ÷ 4096     		x = 0.5078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1438 ÷ 212
    1438 ÷ 4096     		y = 0.35107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5078125 × 2 - 1) × π
    0.015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.04908739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35107421875 × 2 - 1) × π
    0.2978515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.935728280583496
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04908739} λ = 0.04908739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.935728280583496))-π/2
    2×atan(2.54906921951791)-π/2
    2×1.19694540485905-π/2
    2.3938908097181-1.57079632675     		φ = 0.82309448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04908739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82309448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.159840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2080 KachelY 1438 0.04908739 0.82309448 2.812500 47.159840
    Oben rechts KachelX + 1 2081 KachelY 1438 0.05062137 0.82309448 2.900391 47.159840
    Unten links KachelX 2080 KachelY + 1 1439 0.04908739 0.82205086 2.812500 47.100045
    Unten rechts KachelX + 1 2081 KachelY + 1 1439 0.05062137 0.82205086 2.900391 47.100045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82309448-0.82205086) × R
    0.00104361999999991 × 6371000     		dl = 6648.90301999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82309448-0.82205086) × R
    0.00104361999999991 × 6371000     		dr = 6648.90301999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04908739-0.05062137) × cos(0.82309448) × R
    0.00153398 × 0.679955428344822 × 6371000     		do = 6645.19527621209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04908739-0.05062137) × cos(0.82205086) × R
    0.00153398 × 0.680720295882583 × 6371000     		du = 6652.6703163941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82309448)-sin(0.82205086))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679955428344822-0.680720295882583)×R²
    abs(0.05062137-0.04908739)×0.000764867537760616×R²
    0.00153398×0.000764867537760616×6371000²
    0.00153398×0.000764867537760616×40589641000000     		ar = 44208113.3615282m²