Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2082 / 1442
↖ ↑ ↗
← N 46.920255°
E  2.988281°		 ← 6 675.10 m → N 46.920255°
E  3.076172°		 →
↑
6 678.85 m
↓
↑
6 678.85 m
↓
N 46.860191°
E  2.988281°		 ← 6 682.58 m →
44 606 966 m²		 N 46.860191°
E  3.076172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5084228515625 y=0.3521728515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5084228515625 × 212)
    floor (0.5084228515625 × 4096)
    floor (2082.5)     		tx = 2082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3521728515625 × 212)
    floor (0.3521728515625 × 4096)
    floor (1442.5)     		ty = 1442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2082 / 1442 ti = "12/2082/1442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2082/1442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2082 ÷ 212
    2082 ÷ 4096     		x = 0.50830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1442 ÷ 212
    1442 ÷ 4096     		y = 0.35205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50830078125 × 2 - 1) × π
    0.0166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05215535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35205078125 × 2 - 1) × π
    0.2958984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.929592357432129
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05215535} λ = 0.05215535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.929592357432129))-π/2
    2×atan(2.5334762143426)-π/2
    2×1.1948546339532-π/2
    2.3897092679064-1.57079632675     		φ = 0.81891294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05215535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.988281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81891294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.920255°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2082 KachelY 1442 0.05215535 0.81891294 2.988281 46.920255
    Oben rechts KachelX + 1 2083 KachelY 1442 0.05368933 0.81891294 3.076172 46.920255
    Unten links KachelX 2082 KachelY + 1 1443 0.05215535 0.81786462 2.988281 46.860191
    Unten rechts KachelX + 1 2083 KachelY + 1 1443 0.05368933 0.81786462 3.076172 46.860191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81891294-0.81786462) × R
    0.00104831999999999 × 6371000     		dl = 6678.84671999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81891294-0.81786462) × R
    0.00104831999999999 × 6371000     		dr = 6678.84671999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05215535-0.05368933) × cos(0.81891294) × R
    0.00153398 × 0.68301560342657 × 6371000     		do = 6675.10232621846m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05215535-0.05368933) × cos(0.81786462) × R
    0.00153398 × 0.683780924871142 × 6371000     		du = 6682.58180242564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81891294)-sin(0.81786462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.68301560342657-0.683780924871142)×R²
    abs(0.05368933-0.05215535)×0.000765321444571754×R²
    0.00153398×0.000765321444571754×6371000²
    0.00153398×0.000765321444571754×40589641000000     		ar = 44606966.4998501m²