Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2085 / 1445
↖ ↑ ↗
← N 46.739861°
E  3.251953°		 ← 6 697.54 m → N 46.739861°
E  3.339844°		 →
↑
6 701.27 m
↓
↑
6 701.27 m
↓
N 46.679595°
E  3.251953°		 ← 6 705.03 m →
44 907 142 m²		 N 46.679595°
E  3.339844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2085 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1445 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5091552734375 y=0.3529052734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5091552734375 × 212)
    floor (0.5091552734375 × 4096)
    floor (2085.5)     		tx = 2085
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3529052734375 × 212)
    floor (0.3529052734375 × 4096)
    floor (1445.5)     		ty = 1445
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2085 / 1445 ti = "12/2085/1445"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2085/1445.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2085 ÷ 212
    2085 ÷ 4096     		x = 0.509033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1445 ÷ 212
    1445 ÷ 4096     		y = 0.352783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509033203125 × 2 - 1) × π
    0.01806640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05675729
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352783203125 × 2 - 1) × π
    0.29443359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.924990415068604
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05675729} λ = 0.05675729}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.924990415068604))-π/2
    2×atan(2.52184408853972)-π/2
    2×1.19328039308229-π/2
    2.38656078616459-1.57079632675     		φ = 0.81576446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05675729} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.251953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81576446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.739861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2085 KachelY 1445 0.05675729 0.81576446 3.251953 46.739861
    Oben rechts KachelX + 1 2086 KachelY 1445 0.05829127 0.81576446 3.339844 46.739861
    Unten links KachelX 2085 KachelY + 1 1446 0.05675729 0.81471262 3.251953 46.679595
    Unten rechts KachelX + 1 2086 KachelY + 1 1446 0.05829127 0.81471262 3.339844 46.679595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81576446-0.81471262) × R
    0.00105184000000003 × 6371000     		dl = 6701.27264000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81576446-0.81471262) × R
    0.00105184000000003 × 6371000     		dr = 6701.27264000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05675729-0.05829127) × cos(0.81576446) × R
    0.00153398 × 0.685311875989394 × 6371000     		do = 6697.54376715896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05675729-0.05829127) × cos(0.81471262) × R
    0.00153398 × 0.686077498914387 × 6371000     		du = 6705.02618973026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81576446)-sin(0.81471262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.685311875989394-0.686077498914387)×R²
    abs(0.05829127-0.05675729)×0.000765622924993492×R²
    0.00153398×0.000765622924993492×6371000²
    0.00153398×0.000765622924993492×40589641000000     		ar = 44907141.8192068m²