Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2088 / 1448
↖ ↑ ↗
← N 46.558860°
E  3.515625°		 ← 6 719.99 m → N 46.558860°
E  3.603515°		 →
↑
6 723.76 m
↓
↑
6 723.76 m
↓
N 46.498392°
E  3.515625°		 ← 6 727.48 m →
45 208 809 m²		 N 46.498392°
E  3.603515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5098876953125 y=0.3536376953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5098876953125 × 212)
    floor (0.5098876953125 × 4096)
    floor (2088.5)     		tx = 2088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3536376953125 × 212)
    floor (0.3536376953125 × 4096)
    floor (1448.5)     		ty = 1448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2088 / 1448 ti = "12/2088/1448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2088/1448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2088 ÷ 212
    2088 ÷ 4096     		x = 0.509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1448 ÷ 212
    1448 ÷ 4096     		y = 0.353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509765625 × 2 - 1) × π
    0.01953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.06135923
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.353515625 × 2 - 1) × π
    0.29296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.920388472705078
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06135923} λ = 0.06135923}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.920388472705078))-π/2
    2×atan(2.51026537012624)-π/2
    2×1.19170086752114-π/2
    2.38340173504229-1.57079632675     		φ = 0.81260541
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06135923} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.515625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81260541 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.558860°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2088 KachelY 1448 0.06135923 0.81260541 3.515625 46.558860
    Oben rechts KachelX + 1 2089 KachelY 1448 0.06289321 0.81260541 3.603515 46.558860
    Unten links KachelX 2088 KachelY + 1 1449 0.06135923 0.81155004 3.515625 46.498392
    Unten rechts KachelX + 1 2089 KachelY + 1 1449 0.06289321 0.81155004 3.603515 46.498392
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81260541-0.81155004) × R
    0.00105537 × 6371000     		dl = 6723.76227m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81260541-0.81155004) × R
    0.00105537 × 6371000     		dr = 6723.76227m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06135923-0.06289321) × cos(0.81260541) × R
    0.00153398 × 0.687609029827766 × 6371000     		do = 6719.9938207936m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06135923-0.06289321) × cos(0.81155004) × R
    0.00153398 × 0.688374931006971 × 6371000     		du = 6727.47896273957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81260541)-sin(0.81155004))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687609029827766-0.688374931006971)×R²
    abs(0.06289321-0.06135923)×0.000765901179204387×R²
    0.00153398×0.000765901179204387×6371000²
    0.00153398×0.000765901179204387×40589641000000     		ar = 45208809.2605403m²