Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2089 / 1447
↖ ↑ ↗
← N 46.619261°
E  3.603515°		 ← 6 712.51 m → N 46.619261°
E  3.691406°		 →
↑
6 716.24 m
↓
↑
6 716.24 m
↓
N 46.558860°
E  3.603515°		 ← 6 719.99 m →
45 107 993 m²		 N 46.558860°
E  3.691406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1447 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5101318359375 y=0.3533935546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5101318359375 × 212)
    floor (0.5101318359375 × 4096)
    floor (2089.5)     		tx = 2089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3533935546875 × 212)
    floor (0.3533935546875 × 4096)
    floor (1447.5)     		ty = 1447
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2089 / 1447 ti = "12/2089/1447"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2089/1447.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2089 ÷ 212
    2089 ÷ 4096     		x = 0.510009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1447 ÷ 212
    1447 ÷ 4096     		y = 0.353271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.510009765625 × 2 - 1) × π
    0.02001953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.06289321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.353271484375 × 2 - 1) × π
    0.29345703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.92192245349292
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06289321} λ = 0.06289321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.92192245349292))-π/2
    2×atan(2.51411902393618)-π/2
    2×1.19222796335235-π/2
    2.38445592670469-1.57079632675     		φ = 0.81365960
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06289321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.603515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81365960 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.619261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2089 KachelY 1447 0.06289321 0.81365960 3.603515 46.619261
    Oben rechts KachelX + 1 2090 KachelY 1447 0.06442719 0.81365960 3.691406 46.619261
    Unten links KachelX 2089 KachelY + 1 1448 0.06289321 0.81260541 3.603515 46.558860
    Unten rechts KachelX + 1 2090 KachelY + 1 1448 0.06442719 0.81260541 3.691406 46.558860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81365960-0.81260541) × R
    0.00105419000000007 × 6371000     		dl = 6716.24449000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81365960-0.81260541) × R
    0.00105419000000007 × 6371000     		dr = 6716.24449000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06289321-0.06442719) × cos(0.81365960) × R
    0.00153397999999999 × 0.686843220416776 × 6371000     		do = 6712.5095756971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06289321-0.06442719) × cos(0.81260541) × R
    0.00153397999999999 × 0.687609029827766 × 6371000     		du = 6719.99382079354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81365960)-sin(0.81260541))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.686843220416776-0.687609029827766)×R²
    abs(0.06442719-0.06289321)×0.000765809410989804×R²
    0.00153397999999999×0.000765809410989804×6371000²
    0.00153397999999999×0.000765809410989804×40589641000000     		ar = 45107992.6392306m²