Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2117 / 1364
↖ ↑ ↗
← N 51.399206°
E  6.064453°		 ← 6 097.31 m → N 51.399206°
E  6.152344°		 →
↑
6 100.93 m
↓
↑
6 100.93 m
↓
N 51.344339°
E  6.064453°		 ← 6 104.62 m →
37 221 603 m²		 N 51.344339°
E  6.152344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5169677734375 y=0.3331298828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5169677734375 × 212)
    floor (0.5169677734375 × 4096)
    floor (2117.5)     		tx = 2117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3331298828125 × 212)
    floor (0.3331298828125 × 4096)
    floor (1364.5)     		ty = 1364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2117 / 1364 ti = "12/2117/1364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2117/1364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2117 ÷ 212
    2117 ÷ 4096     		x = 0.516845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1364 ÷ 212
    1364 ÷ 4096     		y = 0.3330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516845703125 × 2 - 1) × π
    0.03369140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10584467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3330078125 × 2 - 1) × π
    0.333984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.04924285888379
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10584467} λ = 0.10584467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04924285888379))-π/2
    2×atan(2.85548829179156)-π/2
    2×1.23394084917019-π/2
    2.46788169834038-1.57079632675     		φ = 0.89708537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10584467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.064453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89708537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.399206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2117 KachelY 1364 0.10584467 0.89708537 6.064453 51.399206
    Oben rechts KachelX + 1 2118 KachelY 1364 0.10737866 0.89708537 6.152344 51.399206
    Unten links KachelX 2117 KachelY + 1 1365 0.10584467 0.89612776 6.064453 51.344339
    Unten rechts KachelX + 1 2118 KachelY + 1 1365 0.10737866 0.89612776 6.152344 51.344339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89708537-0.89612776) × R
    0.000957609999999942 × 6371000     		dl = 6100.93330999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89708537-0.89612776) × R
    0.000957609999999942 × 6371000     		dr = 6100.93330999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10584467-0.10737866) × cos(0.89708537) × R
    0.00153399 × 0.62389043284113 × 6371000     		do = 6097.31257560622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10584467-0.10737866) × cos(0.89612776) × R
    0.00153399 × 0.624638530203526 × 6371000     		du = 6104.62376875074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89708537)-sin(0.89612776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62389043284113-0.624638530203526)×R²
    abs(0.10737866-0.10584467)×0.000748097362396671×R²
    0.00153399×0.000748097362396671×6371000²
    0.00153399×0.000748097362396671×40589641000000     		ar = 37221602.7892971m²