Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2160 / 1392
↖ ↑ ↗
← N 49.837983°
E  9.843750°		 ← 6 303.10 m → N 49.837983°
E  9.931641°		 →
↑
6 306.84 m
↓
↑
6 306.84 m
↓
N 49.781264°
E  9.843750°		 ← 6 310.49 m →
39 775 974 m²		 N 49.781264°
E  9.931641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5274658203125 y=0.3399658203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5274658203125 × 212)
    floor (0.5274658203125 × 4096)
    floor (2160.5)     		tx = 2160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3399658203125 × 212)
    floor (0.3399658203125 × 4096)
    floor (1392.5)     		ty = 1392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2160 / 1392 ti = "12/2160/1392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2160/1392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2160 ÷ 212
    2160 ÷ 4096     		x = 0.52734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1392 ÷ 212
    1392 ÷ 4096     		y = 0.33984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52734375 × 2 - 1) × π
    0.0546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.17180585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33984375 × 2 - 1) × π
    0.3203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.00629139682422
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17180585} λ = 0.17180585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00629139682422))-π/2
    2×atan(2.73543752819178)-π/2
    2×1.22031660656692-π/2
    2.44063321313384-1.57079632675     		φ = 0.86983689
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17180585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.843750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86983689 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.837983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2160 KachelY 1392 0.17180585 0.86983689 9.843750 49.837983
    Oben rechts KachelX + 1 2161 KachelY 1392 0.17333983 0.86983689 9.931641 49.837983
    Unten links KachelX 2160 KachelY + 1 1393 0.17180585 0.86884696 9.843750 49.781264
    Unten rechts KachelX + 1 2161 KachelY + 1 1393 0.17333983 0.86884696 9.931641 49.781264
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86983689-0.86884696) × R
    0.000989930000000028 × 6371000     		dl = 6306.84403000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86983689-0.86884696) × R
    0.000989930000000028 × 6371000     		dr = 6306.84403000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17180585-0.17333983) × cos(0.86983689) × R
    0.00153397999999999 × 0.644951208354603 × 6371000     		do = 6303.09950400428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17180585-0.17333983) × cos(0.86884696) × R
    0.00153397999999999 × 0.645707420233467 × 6371000     		du = 6310.48995254805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86983689)-sin(0.86884696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644951208354603-0.645707420233467)×R²
    abs(0.17333983-0.17180585)×0.000756211878864321×R²
    0.00153397999999999×0.000756211878864321×6371000²
    0.00153397999999999×0.000756211878864321×40589641000000     		ar = 39775973.9287106m²