Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2160 / 1456
↖ ↑ ↗
← N 46.073231°
E  9.843750°		 ← 6 779.90 m → N 46.073231°
E  9.931641°		 →
↑
6 783.65 m
↓
↑
6 783.65 m
↓
N 46.012224°
E  9.843750°		 ← 6 787.39 m →
46 017 852 m²		 N 46.012224°
E  9.931641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5274658203125 y=0.3555908203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5274658203125 × 212)
    floor (0.5274658203125 × 4096)
    floor (2160.5)     		tx = 2160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3555908203125 × 212)
    floor (0.3555908203125 × 4096)
    floor (1456.5)     		ty = 1456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2160 / 1456 ti = "12/2160/1456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2160/1456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2160 ÷ 212
    2160 ÷ 4096     		x = 0.52734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1456 ÷ 212
    1456 ÷ 4096     		y = 0.35546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52734375 × 2 - 1) × π
    0.0546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.17180585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35546875 × 2 - 1) × π
    0.2890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.908116626402344
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17180585} λ = 0.17180585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.908116626402344))-π/2
    2×atan(2.47964802921798)-π/2
    2×1.18746294911048-π/2
    2.37492589822095-1.57079632675     		φ = 0.80412957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17180585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.843750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80412957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.073231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2160 KachelY 1456 0.17180585 0.80412957 9.843750 46.073231
    Oben rechts KachelX + 1 2161 KachelY 1456 0.17333983 0.80412957 9.931641 46.073231
    Unten links KachelX 2160 KachelY + 1 1457 0.17180585 0.80306480 9.843750 46.012224
    Unten rechts KachelX + 1 2161 KachelY + 1 1457 0.17333983 0.80306480 9.931641 46.012224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80412957-0.80306480) × R
    0.00106476999999994 × 6371000     		dl = 6783.6496699996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80412957-0.80306480) × R
    0.00106476999999994 × 6371000     		dr = 6783.6496699996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17180585-0.17333983) × cos(0.80412957) × R
    0.00153397999999999 × 0.693738404991914 × 6371000     		do = 6779.89612201653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17180585-0.17333983) × cos(0.80306480) × R
    0.00153397999999999 × 0.694504887761444 × 6371000     		du = 6787.38694783696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80412957)-sin(0.80306480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.693738404991914-0.694504887761444)×R²
    abs(0.17333983-0.17180585)×0.000766482769530619×R²
    0.00153397999999999×0.000766482769530619×6371000²
    0.00153397999999999×0.000766482769530619×40589641000000     		ar = 46017852.0074693m²