Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2208 / 1568
↖ ↑ ↗
← N 38.822591°
E 14.062500°		 ← 7 614.04 m → N 38.822591°
E 14.150391°		 →
↑
7 617.74 m
↓
↑
7 617.74 m
↓
N 38.754083°
E 14.062500°		 ← 7 621.36 m →
58 029 707 m²		 N 38.754083°
E 14.150391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2208 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1568 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5391845703125 y=0.3829345703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5391845703125 × 212)
    floor (0.5391845703125 × 4096)
    floor (2208.5)     		tx = 2208
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3829345703125 × 212)
    floor (0.3829345703125 × 4096)
    floor (1568.5)     		ty = 1568
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2208 / 1568 ti = "12/2208/1568"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2208/1568.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2208 ÷ 212
    2208 ÷ 4096     		x = 0.5390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1568 ÷ 212
    1568 ÷ 4096     		y = 0.3828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5390625 × 2 - 1) × π
    0.078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24543693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3828125 × 2 - 1) × π
    0.234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.736310778164063
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24543693} λ = 0.24543693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.736310778164063))-π/2
    2×atan(2.08821738911978)-π/2
    2×1.12418918173392-π/2
    2.24837836346783-1.57079632675     		φ = 0.67758204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24543693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67758204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.822591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2208 KachelY 1568 0.24543693 0.67758204 14.062500 38.822591
    Oben rechts KachelX + 1 2209 KachelY 1568 0.24697091 0.67758204 14.150391 38.822591
    Unten links KachelX 2208 KachelY + 1 1569 0.24543693 0.67638635 14.062500 38.754083
    Unten rechts KachelX + 1 2209 KachelY + 1 1569 0.24697091 0.67638635 14.150391 38.754083
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67758204-0.67638635) × R
    0.00119568999999997 × 6371000     		dl = 7617.74098999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67758204-0.67638635) × R
    0.00119568999999997 × 6371000     		dr = 7617.74098999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24543693-0.24697091) × cos(0.67758204) × R
    0.00153397999999999 × 0.779090840599552 × 6371000     		do = 7614.04432978029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24543693-0.24697091) × cos(0.67638635) × R
    0.00153397999999999 × 0.779839874768796 × 6371000     		du = 7621.36463066428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67758204)-sin(0.67638635))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.779090840599552-0.779839874768796)×R²
    abs(0.24697091-0.24543693)×0.000749034169243878×R²
    0.00153397999999999×0.000749034169243878×6371000²
    0.00153397999999999×0.000749034169243878×40589641000000     		ar = 58029706.5823275m²