Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2208 / 1696
↖ ↑ ↗
← N 29.535229°
E 14.062500°		 ← 8 503.01 m → N 29.535229°
E 14.150391°		 →
↑
8 506.24 m
↓
↑
8 506.24 m
↓
N 29.458731°
E 14.062500°		 ← 8 509.44 m →
72 356 018 m²		 N 29.458731°
E 14.150391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2208 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5391845703125 y=0.4141845703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5391845703125 × 212)
    floor (0.5391845703125 × 4096)
    floor (2208.5)     		tx = 2208
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4141845703125 × 212)
    floor (0.4141845703125 × 4096)
    floor (1696.5)     		ty = 1696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2208 / 1696 ti = "12/2208/1696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2208/1696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2208 ÷ 212
    2208 ÷ 4096     		x = 0.5390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1696 ÷ 212
    1696 ÷ 4096     		y = 0.4140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5390625 × 2 - 1) × π
    0.078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24543693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4140625 × 2 - 1) × π
    0.171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.539961237320313
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24543693} λ = 0.24543693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.539961237320313))-π/2
    2×atan(1.71594034644969)-π/2
    2×1.04314166399364-π/2
    2.08628332798729-1.57079632675     		φ = 0.51548700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24543693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51548700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.535229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2208 KachelY 1696 0.24543693 0.51548700 14.062500 29.535229
    Oben rechts KachelX + 1 2209 KachelY 1696 0.24697091 0.51548700 14.150391 29.535229
    Unten links KachelX 2208 KachelY + 1 1697 0.24543693 0.51415185 14.062500 29.458731
    Unten rechts KachelX + 1 2209 KachelY + 1 1697 0.24697091 0.51415185 14.150391 29.458731
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51548700-0.51415185) × R
    0.00133515000000006 × 6371000     		dl = 8506.2406500004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51548700-0.51415185) × R
    0.00133515000000006 × 6371000     		dr = 8506.2406500004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24543693-0.24697091) × cos(0.51548700) × R
    0.00153397999999999 × 0.870052754632841 × 6371000     		do = 8503.01389491873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24543693-0.24697091) × cos(0.51415185) × R
    0.00153397999999999 × 0.87071015265401 × 6371000     		du = 8509.43863695733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51548700)-sin(0.51415185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.870052754632841-0.87071015265401)×R²
    abs(0.24697091-0.24543693)×0.00065739802116882×R²
    0.00153397999999999×0.00065739802116882×6371000²
    0.00153397999999999×0.00065739802116882×40589641000000     		ar = 72356018.3900643m²