Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2210 / 1378
↖ ↑ ↗
← N 50.625073°
E 14.238281°		 ← 6 199.91 m → N 50.625073°
E 14.326172°		 →
↑
6 203.57 m
↓
↑
6 203.57 m
↓
N 50.569283°
E 14.238281°		 ← 6 207.26 m →
38 484 371 m²		 N 50.569283°
E 14.326172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5396728515625 y=0.3365478515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5396728515625 × 212)
    floor (0.5396728515625 × 4096)
    floor (2210.5)     		tx = 2210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3365478515625 × 212)
    floor (0.3365478515625 × 4096)
    floor (1378.5)     		ty = 1378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2210 / 1378 ti = "12/2210/1378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2210/1378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2210 ÷ 212
    2210 ÷ 4096     		x = 0.53955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1378 ÷ 212
    1378 ÷ 4096     		y = 0.33642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53955078125 × 2 - 1) × π
    0.0791015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.24850489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33642578125 × 2 - 1) × π
    0.3271484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.027767127854
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24850489} λ = 0.24850489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.027767127854))-π/2
    2×atan(2.79481839028565)-π/2
    2×1.22718526789777-π/2
    2.45437053579553-1.57079632675     		φ = 0.88357421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24850489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.238281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88357421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.625073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2210 KachelY 1378 0.24850489 0.88357421 14.238281 50.625073
    Oben rechts KachelX + 1 2211 KachelY 1378 0.25003887 0.88357421 14.326172 50.625073
    Unten links KachelX 2210 KachelY + 1 1379 0.24850489 0.88260049 14.238281 50.569283
    Unten rechts KachelX + 1 2211 KachelY + 1 1379 0.25003887 0.88260049 14.326172 50.569283
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88357421-0.88260049) × R
    0.000973720000000067 × 6371000     		dl = 6203.57012000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88357421-0.88260049) × R
    0.000973720000000067 × 6371000     		dr = 6203.57012000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24850489-0.25003887) × cos(0.88357421) × R
    0.00153398000000002 × 0.634392297664295 × 6371000     		do = 6199.90741152859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24850489-0.25003887) × cos(0.88260049) × R
    0.00153398000000002 × 0.635144693328959 × 6371000     		du = 6207.2605642622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88357421)-sin(0.88260049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634392297664295-0.635144693328959)×R²
    abs(0.25003887-0.24850489)×0.000752395664664451×R²
    0.00153398000000002×0.000752395664664451×6371000²
    0.00153398000000002×0.000752395664664451×40589641000000     		ar = 38484371.3049037m²