Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2436 / 1668
↖ ↑ ↗
← N 31.653381°
E 34.101563°		 ← 8 319.14 m → N 31.653381°
E 34.189453°		 →
↑
8 322.44 m
↓
↑
8 322.44 m
↓
N 31.578536°
E 34.101563°		 ← 8 325.83 m →
69 263 390 m²		 N 31.578536°
E 34.189453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2436 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1668 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5948486328125 y=0.4073486328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5948486328125 × 212)
    floor (0.5948486328125 × 4096)
    floor (2436.5)     		tx = 2436
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4073486328125 × 212)
    floor (0.4073486328125 × 4096)
    floor (1668.5)     		ty = 1668
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2436 / 1668 ti = "12/2436/1668"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2436/1668.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2436 ÷ 212
    2436 ÷ 4096     		x = 0.5947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1668 ÷ 212
    1668 ÷ 4096     		y = 0.4072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5947265625 × 2 - 1) × π
    0.189453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.59518455
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4072265625 × 2 - 1) × π
    0.185546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.582912699379883
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59518455} λ = 0.59518455}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.582912699379883))-π/2
    2×atan(1.79124820735307)-π/2
    2×1.06162602579719-π/2
    2.12325205159438-1.57079632675     		φ = 0.55245572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59518455} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.101563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55245572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.653381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2436 KachelY 1668 0.59518455 0.55245572 34.101563 31.653381
    Oben rechts KachelX + 1 2437 KachelY 1668 0.59671853 0.55245572 34.189453 31.653381
    Unten links KachelX 2436 KachelY + 1 1669 0.59518455 0.55114942 34.101563 31.578536
    Unten rechts KachelX + 1 2437 KachelY + 1 1669 0.59671853 0.55114942 34.189453 31.578536
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55245572-0.55114942) × R
    0.00130629999999998 × 6371000     		dl = 8322.43729999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55245572-0.55114942) × R
    0.00130629999999998 × 6371000     		dr = 8322.43729999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59518455-0.59671853) × cos(0.55245572) × R
    0.00153397999999993 × 0.851238379268632 × 6371000     		do = 8319.14125697293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59518455-0.59671853) × cos(0.55114942) × R
    0.00153397999999993 × 0.85192317187383 × 6371000     		du = 8325.83372591363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55245572)-sin(0.55114942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851238379268632-0.85192317187383)×R²
    abs(0.59671853-0.59518455)×0.000684792605198714×R²
    0.00153397999999993×0.000684792605198714×6371000²
    0.00153397999999993×0.000684792605198714×40589641000000     		ar = 69263390.1769376m²