Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2440 / 1160
↖ ↑ ↗
← N 61.270233°
E 34.453125°		 ← 4 697.67 m → N 61.270233°
E 34.541016°		 →
↑
4 700.84 m
↓
↑
4 700.84 m
↓
N 61.227957°
E 34.453125°		 ← 4 703.99 m →
22 097 870 m²		 N 61.227957°
E 34.541016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5958251953125 y=0.2833251953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5958251953125 × 212)
    floor (0.5958251953125 × 4096)
    floor (2440.5)     		tx = 2440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2833251953125 × 212)
    floor (0.2833251953125 × 4096)
    floor (1160.5)     		ty = 1160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2440 / 1160 ti = "12/2440/1160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2440/1160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2440 ÷ 212
    2440 ÷ 4096     		x = 0.595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1160 ÷ 212
    1160 ÷ 4096     		y = 0.283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.595703125 × 2 - 1) × π
    0.19140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.60132047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.283203125 × 2 - 1) × π
    0.43359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.36217493960352
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60132047} λ = 0.60132047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.36217493960352))-π/2
    2×atan(3.90467650879763)-π/2
    2×1.32008181121254-π/2
    2.64016362242508-1.57079632675     		φ = 1.06936730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60132047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.453125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.06936730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.270233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2440 KachelY 1160 0.60132047 1.06936730 34.453125 61.270233
    Oben rechts KachelX + 1 2441 KachelY 1160 0.60285445 1.06936730 34.541016 61.270233
    Unten links KachelX 2440 KachelY + 1 1161 0.60132047 1.06862945 34.453125 61.227957
    Unten rechts KachelX + 1 2441 KachelY + 1 1161 0.60285445 1.06862945 34.541016 61.227957
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.06936730-1.06862945) × R
    0.000737849999999929 × 6371000     		dl = 4700.84234999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.06936730-1.06862945) × R
    0.000737849999999929 × 6371000     		dr = 4700.84234999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60132047-0.60285445) × cos(1.06936730) × R
    0.00153398000000005 × 0.480679137651468 × 6371000     		do = 4697.67076155391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60132047-0.60285445) × cos(1.06862945) × R
    0.00153398000000005 × 0.481326024868925 × 6371000     		du = 4703.99278164889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.06936730)-sin(1.06862945))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.480679137651468-0.481326024868925)×R²
    abs(0.60285445-0.60132047)×0.000646887217456038×R²
    0.00153398000000005×0.000646887217456038×6371000²
    0.00153398000000005×0.000646887217456038×40589641000000     		ar = 22097870.074717m²