Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 248 / 184
↖ ↑ ↗
← N 45.089036°
W  5.625000°		 ← 55.198 km → N 45.089036°
W  4.921875°		 →
↑
55.438 km
↓
↑
55.438 km
↓
N 44.590467°
W  5.625000°		 ← 55.678 km →
3 073.42 km²		 N 44.590467°
W  4.921875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4853515625 y=0.3603515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4853515625 × 29)
    floor (0.4853515625 × 512)
    floor (248.5)     		tx = 248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3603515625 × 29)
    floor (0.3603515625 × 512)
    floor (184.5)     		ty = 184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 248 / 184 ti = "9/248/184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/248/184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 248 ÷ 29
    248 ÷ 512     		x = 0.484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 184 ÷ 29
    184 ÷ 512     		y = 0.359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484375 × 2 - 1) × π
    -0.03125 × 3.1415926535     		Λ = -0.09817477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.359375 × 2 - 1) × π
    0.28125 × 3.1415926535     		Φ = 0.883572933796875
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09817477} λ = -0.09817477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.883572933796875))-π/2
    2×atan(2.41952909840215)-π/2
    2×1.17887422696609-π/2
    2.35774845393219-1.57079632675     		φ = 0.78695213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09817477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78695213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.089036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 248 KachelY 184 -0.09817477 0.78695213 -5.625000 45.089036
    Oben rechts KachelX + 1 249 KachelY 184 -0.08590292 0.78695213 -4.921875 45.089036
    Unten links KachelX 248 KachelY + 1 185 -0.09817477 0.77825047 -5.625000 44.590467
    Unten rechts KachelX + 1 249 KachelY + 1 185 -0.08590292 0.77825047 -4.921875 44.590467
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78695213-0.77825047) × R
    0.00870165999999994 × 6371000     		dl = 55438.2758599996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78695213-0.77825047) × R
    0.00870165999999994 × 6371000     		dr = 55438.2758599996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09817477--0.08590292) × cos(0.78695213) × R
    0.01227185 × 0.706007107541517 × 6371000     		do = 55198.4288788157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09817477--0.08590292) × cos(0.77825047) × R
    0.01227185 × 0.712142857825438 × 6371000     		du = 55678.1461111883m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78695213)-sin(0.77825047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706007107541517-0.712142857825438)×R²
    abs(-0.08590292--0.09817477)×0.00613575028392099×R²
    0.01227185×0.00613575028392099×6371000²
    0.01227185×0.00613575028392099×40589641000000     		ar = 3073422468.38899m²