Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 259 / 179
↖ ↑ ↗
← N 47.517200°
E  2.109375°		 ← 52.803 km → N 47.517200°
E  2.812500°		 →
↑
53.042 km
↓
↑
53.042 km
↓
N 47.040182°
E  2.109375°		 ← 53.281 km →
2 813.48 km²		 N 47.040182°
E  2.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5068359375 y=0.3505859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5068359375 × 29)
    floor (0.5068359375 × 512)
    floor (259.5)     		tx = 259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3505859375 × 29)
    floor (0.3505859375 × 512)
    floor (179.5)     		ty = 179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 259 / 179 ti = "9/259/179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/259/179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 259 ÷ 29
    259 ÷ 512     		x = 0.505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 179 ÷ 29
    179 ÷ 512     		y = 0.349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.505859375 × 2 - 1) × π
    0.01171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.03681554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.349609375 × 2 - 1) × π
    0.30078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.944932165310547
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03681554} λ = 0.03681554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.944932165310547))-π/2
    2×atan(2.57263885851109)-π/2
    2×1.20006396514245-π/2
    2.4001279302849-1.57079632675     		φ = 0.82933160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03681554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.109375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82933160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.517200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 259 KachelY 179 0.03681554 0.82933160 2.109375 47.517200
    Oben rechts KachelX + 1 260 KachelY 179 0.04908739 0.82933160 2.812500 47.517200
    Unten links KachelX 259 KachelY + 1 180 0.03681554 0.82100606 2.109375 47.040182
    Unten rechts KachelX + 1 260 KachelY + 1 180 0.04908739 0.82100606 2.812500 47.040182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82933160-0.82100606) × R
    0.00832553999999996 × 6371000     		dl = 53042.0153399998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82933160-0.82100606) × R
    0.00832553999999996 × 6371000     		dr = 53042.0153399998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03681554-0.04908739) × cos(0.82933160) × R
    0.01227185 × 0.675368842609735 × 6371000     		do = 52803.0081107496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03681554-0.04908739) × cos(0.82100606) × R
    0.01227185 × 0.681485285580883 × 6371000     		du = 53281.2158210231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82933160)-sin(0.82100606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675368842609735-0.681485285580883)×R²
    abs(0.04908739-0.03681554)×0.00611644297114788×R²
    0.01227185×0.00611644297114788×6371000²
    0.01227185×0.00611644297114788×40589641000000     		ar = 2813476767.83454m²