Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 259 / 181
↖ ↑ ↗
← N 46.558860°
E  2.109375°		 ← 53.760 km → N 46.558860°
E  2.812500°		 →
↑
54 km
↓
↑
54 km
↓
N 46.073231°
E  2.109375°		 ← 54.239 km →
2 915.97 km²		 N 46.073231°
E  2.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 181 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5068359375 y=0.3544921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5068359375 × 29)
    floor (0.5068359375 × 512)
    floor (259.5)     		tx = 259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3544921875 × 29)
    floor (0.3544921875 × 512)
    floor (181.5)     		ty = 181
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 259 / 181 ti = "9/259/181"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/259/181.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 259 ÷ 29
    259 ÷ 512     		x = 0.505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 181 ÷ 29
    181 ÷ 512     		y = 0.353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.505859375 × 2 - 1) × π
    0.01171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.03681554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.353515625 × 2 - 1) × π
    0.29296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.920388472705078
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03681554} λ = 0.03681554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.920388472705078))-π/2
    2×atan(2.51026537012624)-π/2
    2×1.19170086752114-π/2
    2.38340173504229-1.57079632675     		φ = 0.81260541
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03681554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.109375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81260541 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.558860°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 259 KachelY 181 0.03681554 0.81260541 2.109375 46.558860
    Oben rechts KachelX + 1 260 KachelY 181 0.04908739 0.81260541 2.812500 46.558860
    Unten links KachelX 259 KachelY + 1 182 0.03681554 0.80412957 2.109375 46.073231
    Unten rechts KachelX + 1 260 KachelY + 1 182 0.04908739 0.80412957 2.812500 46.073231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81260541-0.80412957) × R
    0.00847584000000001 × 6371000     		dl = 53999.5766400001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81260541-0.80412957) × R
    0.00847584000000001 × 6371000     		dr = 53999.5766400001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03681554-0.04908739) × cos(0.81260541) × R
    0.01227185 × 0.687609029827766 × 6371000     		do = 53759.9943739199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03681554-0.04908739) × cos(0.80412957) × R
    0.01227185 × 0.693738404991914 × 6371000     		du = 54239.2131742064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81260541)-sin(0.80412957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687609029827766-0.693738404991914)×R²
    abs(0.04908739-0.03681554)×0.00612937516414747×R²
    0.01227185×0.00612937516414747×6371000²
    0.01227185×0.00612937516414747×40589641000000     		ar = 2915973199.47453m²