Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 260 / 180
↖ ↑ ↗
← N 47.040182°
E  2.812500°		 ← 53.281 km → N 47.040182°
E  3.515625°		 →
↑
53.521 km
↓
↑
53.521 km
↓
N 46.558860°
E  2.812500°		 ← 53.760 km →
2 864.47 km²		 N 46.558860°
E  3.515625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 260 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5087890625 y=0.3525390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5087890625 × 29)
    floor (0.5087890625 × 512)
    floor (260.5)     		tx = 260
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3525390625 × 29)
    floor (0.3525390625 × 512)
    floor (180.5)     		ty = 180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 260 / 180 ti = "9/260/180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/260/180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 260 ÷ 29
    260 ÷ 512     		x = 0.5078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 180 ÷ 29
    180 ÷ 512     		y = 0.3515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5078125 × 2 - 1) × π
    0.015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.04908739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3515625 × 2 - 1) × π
    0.296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.932660319007813
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04908739} λ = 0.04908739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.932660319007813))-π/2
    2×atan(2.54126075725446)-π/2
    2×1.19590119297073-π/2
    2.39180238594145-1.57079632675     		φ = 0.82100606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04908739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82100606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.040182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 260 KachelY 180 0.04908739 0.82100606 2.812500 47.040182
    Oben rechts KachelX + 1 261 KachelY 180 0.06135923 0.82100606 3.515625 47.040182
    Unten links KachelX 260 KachelY + 1 181 0.04908739 0.81260541 2.812500 46.558860
    Unten rechts KachelX + 1 261 KachelY + 1 181 0.06135923 0.81260541 3.515625 46.558860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82100606-0.81260541) × R
    0.00840065000000001 × 6371000     		dl = 53520.5411500001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82100606-0.81260541) × R
    0.00840065000000001 × 6371000     		dr = 53520.5411500001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04908739-0.06135923) × cos(0.82100606) × R
    0.01227184 × 0.681485285580883 × 6371000     		do = 53281.1724035955m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04908739-0.06135923) × cos(0.81260541) × R
    0.01227184 × 0.687609029827766 × 6371000     		du = 53759.9505663486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82100606)-sin(0.81260541))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681485285580883-0.687609029827766)×R²
    abs(0.06135923-0.04908739)×0.00612374424688311×R²
    0.01227184×0.00612374424688311×6371000²
    0.01227184×0.00612374424688311×40589641000000     		ar = 2864466259.01574m²