Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 260 / 260
↖ ↑ ↗
← N 65.946472°
W 88.593750°		 ← 15.933 km → N 65.946472°
W 88.242187°		 →
↑
15.978 km
↓
↑
15.978 km
↓
N 65.802777°
W 88.593750°		 ← 16.023 km →
255.303 km²		 N 65.802777°
W 88.242187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 260 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.25439453125 y=0.25439453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.25439453125 × 210)
    floor (0.25439453125 × 1024)
    floor (260.5)     		tx = 260
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.25439453125 × 210)
    floor (0.25439453125 × 1024)
    floor (260.5)     		ty = 260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 260 / 260 ti = "10/260/260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/260/260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 260 ÷ 210
    260 ÷ 1024     		x = 0.25390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 260 ÷ 210
    260 ÷ 1024     		y = 0.25390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.25390625 × 2 - 1) × π
    -0.4921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.54625263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25390625 × 2 - 1) × π
    0.4921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.54625263414453
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.54625263} λ = -1.54625263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.54625263414453))-π/2
    2×atan(4.69384761981689)-π/2
    2×1.36088969467217-π/2
    2.72177938934434-1.57079632675     		φ = 1.15098306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.54625263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -88.593750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15098306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.946472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 260 KachelY 260 -1.54625263 1.15098306 -88.593750 65.946472
    Oben rechts KachelX + 1 261 KachelY 260 -1.54011671 1.15098306 -88.242187 65.946472
    Unten links KachelX 260 KachelY + 1 261 -1.54625263 1.14847511 -88.593750 65.802777
    Unten rechts KachelX + 1 261 KachelY + 1 261 -1.54011671 1.14847511 -88.242187 65.802777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15098306-1.14847511) × R
    0.00250795000000004 × 6371000     		dl = 15978.1494500002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15098306-1.14847511) × R
    0.00250795000000004 × 6371000     		dr = 15978.1494500002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.54625263--1.54011671) × cos(1.15098306) × R
    0.00613591999999996 × 0.407589941927033 × 6371000     		do = 15933.4841303834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.54625263--1.54011671) × cos(1.14847511) × R
    0.00613591999999996 × 0.409878830023918 × 6371000     		du = 16022.9612209993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15098306)-sin(1.14847511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407589941927033-0.409878830023918)×R²
    abs(-1.54011671--1.54625263)×0.0022888880968841×R²
    0.00613591999999996×0.0022888880968841×6371000²
    0.00613591999999996×0.0022888880968841×40589641000000     		ar = 255302563.674698m²