Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 262 / 174
↖ ↑ ↗
← N 49.837983°
E  4.218750°		 ← 50.425 km → N 49.837983°
E  4.921875°		 →
↑
50.661 km
↓
↑
50.661 km
↓
N 49.382373°
E  4.218750°		 ← 50.898 km →
2 566.60 km²		 N 49.382373°
E  4.921875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 174 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5126953125 y=0.3408203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5126953125 × 29)
    floor (0.5126953125 × 512)
    floor (262.5)     		tx = 262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3408203125 × 29)
    floor (0.3408203125 × 512)
    floor (174.5)     		ty = 174
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 262 / 174 ti = "9/262/174"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/262/174.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 262 ÷ 29
    262 ÷ 512     		x = 0.51171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 174 ÷ 29
    174 ÷ 512     		y = 0.33984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51171875 × 2 - 1) × π
    0.0234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.07363108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33984375 × 2 - 1) × π
    0.3203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.00629139682422
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07363108} λ = 0.07363108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00629139682422))-π/2
    2×atan(2.73543752819178)-π/2
    2×1.22031660656692-π/2
    2.44063321313384-1.57079632675     		φ = 0.86983689
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07363108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86983689 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.837983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 262 KachelY 174 0.07363108 0.86983689 4.218750 49.837983
    Oben rechts KachelX + 1 263 KachelY 174 0.08590292 0.86983689 4.921875 49.837983
    Unten links KachelX 262 KachelY + 1 175 0.07363108 0.86188500 4.218750 49.382373
    Unten rechts KachelX + 1 263 KachelY + 1 175 0.08590292 0.86188500 4.921875 49.382373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86983689-0.86188500) × R
    0.00795188999999996 × 6371000     		dl = 50661.4911899998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86983689-0.86188500) × R
    0.00795188999999996 × 6371000     		dr = 50661.4911899998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07363108-0.08590292) × cos(0.86983689) × R
    0.01227184 × 0.644951208354603 × 6371000     		do = 50424.7960320345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07363108-0.08590292) × cos(0.86188500) × R
    0.01227184 × 0.651007776650759 × 6371000     		du = 50898.322117468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86983689)-sin(0.86188500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644951208354603-0.651007776650759)×R²
    abs(0.08590292-0.07363108)×0.00605656829615653×R²
    0.01227184×0.00605656829615653×6371000²
    0.01227184×0.00605656829615653×40589641000000     		ar = 2566603653.1602m²