Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 262 / 182
↖ ↑ ↗
← N 46.073231°
E  4.218750°		 ← 54.239 km → N 46.073231°
E  4.921875°		 →
↑
54.479 km
↓
↑
54.479 km
↓
N 45.583290°
E  4.218750°		 ← 54.719 km →
2 967.97 km²		 N 45.583290°
E  4.921875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5126953125 y=0.3564453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5126953125 × 29)
    floor (0.5126953125 × 512)
    floor (262.5)     		tx = 262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3564453125 × 29)
    floor (0.3564453125 × 512)
    floor (182.5)     		ty = 182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 262 / 182 ti = "9/262/182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/262/182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 262 ÷ 29
    262 ÷ 512     		x = 0.51171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 182 ÷ 29
    182 ÷ 512     		y = 0.35546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51171875 × 2 - 1) × π
    0.0234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.07363108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35546875 × 2 - 1) × π
    0.2890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.908116626402344
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07363108} λ = 0.07363108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.908116626402344))-π/2
    2×atan(2.47964802921798)-π/2
    2×1.18746294911048-π/2
    2.37492589822095-1.57079632675     		φ = 0.80412957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07363108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80412957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.073231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 262 KachelY 182 0.07363108 0.80412957 4.218750 46.073231
    Oben rechts KachelX + 1 263 KachelY 182 0.08590292 0.80412957 4.921875 46.073231
    Unten links KachelX 262 KachelY + 1 183 0.07363108 0.79557849 4.218750 45.583290
    Unten rechts KachelX + 1 263 KachelY + 1 183 0.08590292 0.79557849 4.921875 45.583290
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80412957-0.79557849) × R
    0.00855107999999993 × 6371000     		dl = 54478.9306799996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80412957-0.79557849) × R
    0.00855107999999993 × 6371000     		dr = 54478.9306799996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07363108-0.08590292) × cos(0.80412957) × R
    0.01227184 × 0.693738404991914 × 6371000     		do = 54239.1689761326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07363108-0.08590292) × cos(0.79557849) × R
    0.01227184 × 0.699871685931871 × 6371000     		du = 54718.6927546731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80412957)-sin(0.79557849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.693738404991914-0.699871685931871)×R²
    abs(0.08590292-0.07363108)×0.0061332809399568×R²
    0.01227184×0.0061332809399568×6371000²
    0.01227184×0.0061332809399568×40589641000000     		ar = 2967971983.24112m²