Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 273 / 209
↖ ↑ ↗
← N 31.353637°
E 11.953125°		 ← 66.767 km → N 31.353637°
E 12.656250°		 →
↑
66.979 km
↓
↑
66.979 km
↓
N 30.751278°
E 11.953125°		 ← 67.191 km →
4 486.24 km²		 N 30.751278°
E 12.656250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 273 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5341796875 y=0.4091796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5341796875 × 29)
    floor (0.5341796875 × 512)
    floor (273.5)     		tx = 273
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4091796875 × 29)
    floor (0.4091796875 × 512)
    floor (209.5)     		ty = 209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 273 / 209 ti = "9/273/209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/273/209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 273 ÷ 29
    273 ÷ 512     		x = 0.533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 209 ÷ 29
    209 ÷ 512     		y = 0.408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.533203125 × 2 - 1) × π
    0.06640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.20862139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.408203125 × 2 - 1) × π
    0.18359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.576776776228516
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20862139} λ = 0.20862139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.576776776228516))-π/2
    2×atan(1.78029089699302)-π/2
    2×1.05901026194247-π/2
    2.11802052388494-1.57079632675     		φ = 0.54722420
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20862139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.953125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54722420 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.353637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 273 KachelY 209 0.20862139 0.54722420 11.953125 31.353637
    Oben rechts KachelX + 1 274 KachelY 209 0.22089323 0.54722420 12.656250 31.353637
    Unten links KachelX 273 KachelY + 1 210 0.20862139 0.53671105 11.953125 30.751278
    Unten rechts KachelX + 1 274 KachelY + 1 210 0.22089323 0.53671105 12.656250 30.751278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54722420-0.53671105) × R
    0.0105131500000001 × 6371000     		dl = 66979.2786500005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54722420-0.53671105) × R
    0.0105131500000001 × 6371000     		dr = 66979.2786500005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20862139-0.22089323) × cos(0.54722420) × R
    0.01227184 × 0.853972111029799 × 6371000     		do = 66766.863846308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20862139-0.22089323) × cos(0.53671105) × R
    0.01227184 × 0.859395006889381 × 6371000     		du = 67190.8469539915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54722420)-sin(0.53671105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853972111029799-0.859395006889381)×R²
    abs(0.22089323-0.20862139)×0.00542289585958255×R²
    0.01227184×0.00542289585958255×6371000²
    0.01227184×0.00542289585958255×40589641000000     		ar = 4486236740.18509m²