Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 275 / 163
↖ ↑ ↗
← N 54.572062°
E 13.359375°		 ← 45.322 km → N 54.572062°
E 14.062500°		 →
↑
45.549 km
↓
↑
45.549 km
↓
N 54.162434°
E 13.359375°		 ← 45.776 km →
2 074.69 km²		 N 54.162434°
E 14.062500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5380859375 y=0.3193359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5380859375 × 29)
    floor (0.5380859375 × 512)
    floor (275.5)     		tx = 275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3193359375 × 29)
    floor (0.3193359375 × 512)
    floor (163.5)     		ty = 163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 275 / 163 ti = "9/275/163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/275/163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 275 ÷ 29
    275 ÷ 512     		x = 0.537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 163 ÷ 29
    163 ÷ 512     		y = 0.318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537109375 × 2 - 1) × π
    0.07421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.23316508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318359375 × 2 - 1) × π
    0.36328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.1412817061543
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23316508} λ = 0.23316508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1412817061543))-π/2
    2×atan(3.13077853282216)-π/2
    2×1.26162924113429-π/2
    2.52325848226858-1.57079632675     		φ = 0.95246216
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23316508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.359375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95246216 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.572062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 275 KachelY 163 0.23316508 0.95246216 13.359375 54.572062
    Oben rechts KachelX + 1 276 KachelY 163 0.24543693 0.95246216 14.062500 54.572062
    Unten links KachelX 275 KachelY + 1 164 0.23316508 0.94531280 13.359375 54.162434
    Unten rechts KachelX + 1 276 KachelY + 1 164 0.24543693 0.94531280 14.062500 54.162434
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95246216-0.94531280) × R
    0.00714935999999999 × 6371000     		dl = 45548.57256m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95246216-0.94531280) × R
    0.00714935999999999 × 6371000     		dr = 45548.57256m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23316508-0.24543693) × cos(0.95246216) × R
    0.01227185 × 0.579678569220153 × 6371000     		do = 45321.5639529389m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23316508-0.24543693) × cos(0.94531280) × R
    0.01227185 × 0.585489326925804 × 6371000     		du = 45775.871979758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95246216)-sin(0.94531280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579678569220153-0.585489326925804)×R²
    abs(0.24543693-0.23316508)×0.00581075770565154×R²
    0.01227185×0.00581075770565154×6371000²
    0.01227185×0.00581075770565154×40589641000000     		ar = 2074687922.33323m²