Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 306 / 146
↖ ↑ ↗
← N 60.930432°
E 35.156250°		 ← 37.987 km → N 60.930432°
E 35.859375°		 →
↑
38.192 km
↓
↑
38.192 km
↓
N 60.586967°
E 35.156250°		 ← 38.396 km →
1 458.61 km²		 N 60.586967°
E 35.859375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 306 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5986328125 y=0.2861328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5986328125 × 29)
    floor (0.5986328125 × 512)
    floor (306.5)     		tx = 306
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2861328125 × 29)
    floor (0.2861328125 × 512)
    floor (146.5)     		ty = 146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 306 / 146 ti = "9/306/146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/306/146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 306 ÷ 29
    306 ÷ 512     		x = 0.59765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 146 ÷ 29
    146 ÷ 512     		y = 0.28515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59765625 × 2 - 1) × π
    0.1953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.61359232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28515625 × 2 - 1) × π
    0.4296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.34990309330078
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61359232} λ = 0.61359232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.34990309330078))-π/2
    2×atan(3.85705173843309)-π/2
    2×1.31711649169017-π/2
    2.63423298338034-1.57079632675     		φ = 1.06343666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61359232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.156250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.06343666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.930432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 306 KachelY 146 0.61359232 1.06343666 35.156250 60.930432
    Oben rechts KachelX + 1 307 KachelY 146 0.62586416 1.06343666 35.859375 60.930432
    Unten links KachelX 306 KachelY + 1 147 0.61359232 1.05744206 35.156250 60.586967
    Unten rechts KachelX + 1 307 KachelY + 1 147 0.62586416 1.05744206 35.859375 60.586967
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.06343666-1.05744206) × R
    0.00599459999999996 × 6371000     		dl = 38191.5965999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.06343666-1.05744206) × R
    0.00599459999999996 × 6371000     		dr = 38191.5965999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61359232-0.62586416) × cos(1.06343666) × R
    0.01227184 × 0.485871211628651 × 6371000     		do = 37987.3026468413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61359232-0.62586416) × cos(1.05744206) × R
    0.01227184 × 0.491101913051552 × 6371000     		du = 38396.2592453212m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.06343666)-sin(1.05744206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.485871211628651-0.491101913051552)×R²
    abs(0.62586416-0.61359232)×0.00523070142290027×R²
    0.01227184×0.00523070142290027×6371000²
    0.01227184×0.00523070142290027×40589641000000     		ar = 1458609459.28636m²