Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30724 / 22532
↖ ↑ ↗
← N 48.908060°
W 11.228028°		 ← 401.49 m → N 48.908060°
W 11.222534°		 →
↑
401.50 m
↓
↑
401.50 m
↓
N 48.904449°
W 11.228028°		 ← 401.52 m →
161 206 m²		 N 48.904449°
W 11.222534°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30724 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22532 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468818664550781 y=0.343818664550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468818664550781 × 216)
    floor (0.468818664550781 × 65536)
    floor (30724.5)     		tx = 30724
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343818664550781 × 216)
    floor (0.343818664550781 × 65536)
    floor (22532.5)     		ty = 22532
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30724 / 22532 ti = "16/30724/22532"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30724/22532.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30724 ÷ 216
    30724 ÷ 65536     		x = 0.46881103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22532 ÷ 216
    22532 ÷ 65536     		y = 0.34381103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46881103515625 × 2 - 1) × π
    -0.0623779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19596605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34381103515625 × 2 - 1) × π
    0.3123779296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.98136420902179
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19596605} λ = -0.19596605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.98136420902179))-π/2
    2×atan(2.66809359766546)-π/2
    2×1.21220149703066-π/2
    2.42440299406132-1.57079632675     		φ = 0.85360667
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19596605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.228028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85360667 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.908060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30724 KachelY 22532 -0.19596605 0.85360667 -11.228028 48.908060
    Oben rechts KachelX + 1 30725 KachelY 22532 -0.19587017 0.85360667 -11.222534 48.908060
    Unten links KachelX 30724 KachelY + 1 22533 -0.19596605 0.85354365 -11.228028 48.904449
    Unten rechts KachelX + 1 30725 KachelY + 1 22533 -0.19587017 0.85354365 -11.222534 48.904449
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85360667-0.85354365) × R
    6.30200000000247e-05 × 6371000     		dl = 401.500420000158m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85360667-0.85354365) × R
    6.30200000000247e-05 × 6371000     		dr = 401.500420000158m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19596605--0.19587017) × cos(0.85360667) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.657269238712331 × 6371000     		do = 401.49388722587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19596605--0.19587017) × cos(0.85354365) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.657316732799105 × 6371000     		du = 401.522899059067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85360667)-sin(0.85354365))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657269238712331-0.657316732799105)×R²
    abs(-0.19587017--0.19596605)×4.74940867744023e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.74940867744023e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.74940867744023e-05×40589641000000     		ar = 161205.788533851m²