Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3074 / 1026
↖ ↑ ↗
← N 66.443106°
E 90.175781°		 ← 3 905.87 m → N 66.443106°
E 90.263672°		 →
↑
3 908.61 m
↓
↑
3 908.61 m
↓
N 66.407955°
E 90.175781°		 ← 3 911.36 m →
15 277 245 m²		 N 66.407955°
E 90.263672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3074 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7506103515625 y=0.2506103515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7506103515625 × 212)
    floor (0.7506103515625 × 4096)
    floor (3074.5)     		tx = 3074
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2506103515625 × 212)
    floor (0.2506103515625 × 4096)
    floor (1026.5)     		ty = 1026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3074 / 1026 ti = "12/3074/1026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3074/1026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3074 ÷ 212
    3074 ÷ 4096     		x = 0.75048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1026 ÷ 212
    1026 ÷ 4096     		y = 0.25048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75048828125 × 2 - 1) × π
    0.5009765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.57386429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25048828125 × 2 - 1) × π
    0.4990234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.56772836517432
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57386429} λ = 1.57386429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56772836517432))-π/2
    2×atan(4.79574163689073)-π/2
    2×1.36522365029887-π/2
    2.73044730059773-1.57079632675     		φ = 1.15965097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57386429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.175781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15965097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.443106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3074 KachelY 1026 1.57386429 1.15965097 90.175781 66.443106
    Oben rechts KachelX + 1 3075 KachelY 1026 1.57539827 1.15965097 90.263672 66.443106
    Unten links KachelX 3074 KachelY + 1 1027 1.57386429 1.15903747 90.175781 66.407955
    Unten rechts KachelX + 1 3075 KachelY + 1 1027 1.57539827 1.15903747 90.263672 66.407955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15965097-1.15903747) × R
    0.000613500000000045 × 6371000     		dl = 3908.60850000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15965097-1.15903747) × R
    0.000613500000000045 × 6371000     		dr = 3908.60850000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57386429-1.57539827) × cos(1.15965097) × R
    0.00153398000000005 × 0.399659496864673 × 6371000     		do = 3905.86689942812m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57386429-1.57539827) × cos(1.15903747) × R
    0.00153398000000005 × 0.400221794779465 × 6371000     		du = 3911.36222940334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15965097)-sin(1.15903747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399659496864673-0.400221794779465)×R²
    abs(1.57539827-1.57386429)×0.000562297914792009×R²
    0.00153398000000005×0.000562297914792009×6371000²
    0.00153398000000005×0.000562297914792009×40589641000000     		ar = 15277244.5888787m²