Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30848 / 26752
↖ ↑ ↗
← N 31.353637°
W 10.546875°		 ← 521.60 m → N 31.353637°
W 10.541382°		 →
↑
521.66 m
↓
↑
521.66 m
↓
N 31.348946°
W 10.546875°		 ← 521.62 m →
272 101 m²		 N 31.348946°
W 10.541382°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26752 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470710754394531 y=0.408210754394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470710754394531 × 216)
    floor (0.470710754394531 × 65536)
    floor (30848.5)     		tx = 30848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408210754394531 × 216)
    floor (0.408210754394531 × 65536)
    floor (26752.5)     		ty = 26752
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30848 / 26752 ti = "16/30848/26752"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30848/26752.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30848 ÷ 216
    30848 ÷ 65536     		x = 0.470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26752 ÷ 216
    26752 ÷ 65536     		y = 0.408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470703125 × 2 - 1) × π
    -0.05859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18407769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.408203125 × 2 - 1) × π
    0.18359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.576776776228516
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18407769} λ = -0.18407769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.576776776228516))-π/2
    2×atan(1.78029089699302)-π/2
    2×1.05901026194247-π/2
    2.11802052388494-1.57079632675     		φ = 0.54722420
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18407769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.546875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54722420 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.353637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30848 KachelY 26752 -0.18407769 0.54722420 -10.546875 31.353637
    Oben rechts KachelX + 1 30849 KachelY 26752 -0.18398182 0.54722420 -10.541382 31.353637
    Unten links KachelX 30848 KachelY + 1 26753 -0.18407769 0.54714232 -10.546875 31.348946
    Unten rechts KachelX + 1 30849 KachelY + 1 26753 -0.18398182 0.54714232 -10.541382 31.348946
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54722420-0.54714232) × R
    8.18800000000897e-05 × 6371000     		dl = 521.657480000571m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54722420-0.54714232) × R
    8.18800000000897e-05 × 6371000     		dr = 521.657480000571m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18407769--0.18398182) × cos(0.54722420) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.853972111029799 × 6371000     		do = 521.595721338072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18407769--0.18398182) × cos(0.54714232) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.85401471186886 × 6371000     		du = 521.621741409562m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54722420)-sin(0.54714232))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853972111029799-0.85401471186886)×R²
    abs(-0.18398182--0.18407769)×4.26008390614907e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.26008390614907e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.26008390614907e-05×40589641000000     		ar = 272101.09650704m²