Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
6 / 32 / 21
↖ ↑ ↗
← N 52.482780°
E  0.000000°		 ← 380.912 km → N 52.482780°
E  5.625000°		 →
↑
395.885 km
↓
↑
395.885 km
↓
N 48.922499°
E  0.000000°		 ← 410.984 km →
156 800 km²		 N 48.922499°
E  5.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 6 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5078125 y=0.3359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=6 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5078125 × 26)
    floor (0.5078125 × 64)
    floor (32.5)     		tx = 32
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3359375 × 26)
    floor (0.3359375 × 64)
    floor (21.5)     		ty = 21
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 6 / 32 / 21 ti = "6/32/21"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/6/32/21.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32 ÷ 26
    32 ÷ 64     		x = 0.5
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21 ÷ 26
    21 ÷ 64     		y = 0.328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5 × 2 - 1) × π
    0 × 3.1415926535     		Λ = 0.00000000
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328125 × 2 - 1) × π
    0.34375 × 3.1415926535     		Φ = 1.07992247464063
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00000000} λ = 0.00000000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07992247464063))-π/2
    2×atan(2.94445127257388)-π/2
    2×1.24339682112596-π/2
    2.48679364225192-1.57079632675     		φ = 0.91599732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00000000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91599732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.482780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32 KachelY 21 0.00000000 0.91599732 0.000000 52.482780
    Oben rechts KachelX + 1 33 KachelY 21 0.09817477 0.91599732 5.625000 52.482780
    Unten links KachelX 32 KachelY + 1 22 0.00000000 0.85385869 0.000000 48.922499
    Unten rechts KachelX + 1 33 KachelY + 1 22 0.09817477 0.85385869 5.625000 48.922499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91599732-0.85385869) × R
    0.06213863 × 6371000     		dl = 395885.21173m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91599732-0.85385869) × R
    0.06213863 × 6371000     		dr = 395885.21173m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00000000-0.09817477) × cos(0.91599732) × R
    0.09817477 × 0.608999833781129 × 6371000     		do = 380912.01497387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00000000-0.09817477) × cos(0.85385869) × R
    0.09817477 × 0.657079281492828 × 6371000     		du = 410984.337314234m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91599732)-sin(0.85385869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.608999833781129-0.657079281492828)×R²
    abs(0.09817477-0.00000000)×0.0480794477116986×R²
    0.09817477×0.0480794477116986×6371000²
    0.09817477×0.0480794477116986×40589641000000     		ar = 156800484085.155m²