Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
6 / 32 / 22
↖ ↑ ↗
← N 48.922499°
E  0.000000°		 ← 410.984 km → N 48.922499°
E  5.625000°		 →
↑
426.262 km
↓
↑
426.262 km
↓
N 45.089036°
E  0.000000°		 ← 441.587 km →
181 777 km²		 N 45.089036°
E  5.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 6 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5078125 y=0.3515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=6 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5078125 × 26)
    floor (0.5078125 × 64)
    floor (32.5)     		tx = 32
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3515625 × 26)
    floor (0.3515625 × 64)
    floor (22.5)     		ty = 22
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 6 / 32 / 22 ti = "6/32/22"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/6/32/22.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32 ÷ 26
    32 ÷ 64     		x = 0.5
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22 ÷ 26
    22 ÷ 64     		y = 0.34375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5 × 2 - 1) × π
    0 × 3.1415926535     		Λ = 0.00000000
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34375 × 2 - 1) × π
    0.3125 × 3.1415926535     		Φ = 0.98174770421875
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00000000} λ = 0.00000000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.98174770421875))-π/2
    2×atan(2.66911699496664)-π/2
    2×1.21232750861677-π/2
    2.42465501723354-1.57079632675     		φ = 0.85385869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00000000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85385869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.922499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32 KachelY 22 0.00000000 0.85385869 0.000000 48.922499
    Oben rechts KachelX + 1 33 KachelY 22 0.09817477 0.85385869 5.625000 48.922499
    Unten links KachelX 32 KachelY + 1 23 0.00000000 0.78695213 0.000000 45.089036
    Unten rechts KachelX + 1 33 KachelY + 1 23 0.09817477 0.78695213 5.625000 45.089036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85385869-0.78695213) × R
    0.0669065600000001 × 6371000     		dl = 426261.69376m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85385869-0.78695213) × R
    0.0669065600000001 × 6371000     		dr = 426261.69376m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00000000-0.09817477) × cos(0.85385869) × R
    0.09817477 × 0.657079281492828 × 6371000     		do = 410984.337314234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00000000-0.09817477) × cos(0.78695213) × R
    0.09817477 × 0.706007107541517 × 6371000     		du = 441587.296091387m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85385869)-sin(0.78695213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657079281492828-0.706007107541517)×R²
    abs(0.09817477-0.00000000)×0.0489278260486892×R²
    0.09817477×0.0489278260486892×6371000²
    0.09817477×0.0489278260486892×40589641000000     		ar = 181777129571.472m²