Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
7 / 32 / 95
↖ ↑ ↗
← S 65.366837°
W 90.000000°		 ← 130.350 km → S 65.366837°
W 87.187500°		 →
↑
127.476 km
↓
↑
127.476 km
↓
S 66.513260°
W 90.000000°		 ← 124.637 km →
16 253 km²		 S 66.513260°
W 87.187500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 7 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.25390625 y=0.74609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=7 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.25390625 × 27)
    floor (0.25390625 × 128)
    floor (32.5)     		tx = 32
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.74609375 × 27)
    floor (0.74609375 × 128)
    floor (95.5)     		ty = 95
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 7 / 32 / 95 ti = "7/32/95"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/7/32/95.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32 ÷ 27
    32 ÷ 128     		x = 0.25
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95 ÷ 27
    95 ÷ 128     		y = 0.7421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.25 × 2 - 1) × π
    -0.5 × 3.1415926535     		Λ = -1.57079633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7421875 × 2 - 1) × π
    -0.484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.52170894153906
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.57079633} λ = -1.57079633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52170894153906))-π/2
    2×atan(0.218338440313639)-π/2
    2×0.214964900714467-π/2
    0.429929801428934-1.57079632675     		φ = -1.14086653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.57079633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -90.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14086653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.366837°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32 KachelY 95 -1.57079633 -1.14086653 -90.000000 -65.366837
    Oben rechts KachelX + 1 33 KachelY 95 -1.52170894 -1.14086653 -87.187500 -65.366837
    Unten links KachelX 32 KachelY + 1 96 -1.57079633 -1.16087539 -90.000000 -66.513260
    Unten rechts KachelX + 1 33 KachelY + 1 96 -1.52170894 -1.16087539 -87.187500 -66.513260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14086653--1.16087539) × R
    0.0200088599999999 × 6371000     		dl = 127476.447059999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14086653--1.16087539) × R
    0.0200088599999999 × 6371000     		dr = 127476.447059999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.57079633--1.52170894) × cos(-1.14086653) × R
    0.0490873900000002 × 0.416806989093035 × 6371000     		do = 130350.451211726m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.57079633--1.52170894) × cos(-1.16087539) × R
    0.0490873900000002 × 0.398536816226928 × 6371000     		du = 124636.714784236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14086653)-sin(-1.16087539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416806989093035-0.398536816226928)×R²
    abs(-1.52170894--1.57079633)×0.018270172866107×R²
    0.0490873900000002×0.018270172866107×6371000²
    0.0490873900000002×0.018270172866107×40589641000000     		ar = 16252971232.9687m²