Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32704 / 32704
↖ ↑ ↗
← N  0.351560°
W  0.351562°		 ← 610.78 m → N  0.351560°
W  0.346069°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
N  0.346067°
W  0.351562°		 ← 610.78 m →
373 055 m²		 N  0.346067°
W  0.346069°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499031066894531 y=0.499031066894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499031066894531 × 216)
    floor (0.499031066894531 × 65536)
    floor (32704.5)     		tx = 32704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499031066894531 × 216)
    floor (0.499031066894531 × 65536)
    floor (32704.5)     		ty = 32704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32704 / 32704 ti = "16/32704/32704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32704/32704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32704 ÷ 216
    32704 ÷ 65536     		x = 0.4990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32704 ÷ 216
    32704 ÷ 65536     		y = 0.4990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4990234375 × 2 - 1) × π
    -0.001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00613592
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4990234375 × 2 - 1) × π
    0.001953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.00613592315136719
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00613592} λ = -0.00613592}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00613592315136719))-π/2
    2×atan(1.00615478648942)-π/2
    2×0.788466105722083-π/2
    1.57693221144417-1.57079632675     		φ = 0.00613588
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00613592} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.351562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00613588 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.351560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32704 KachelY 32704 -0.00613592 0.00613588 -0.351562 0.351560
    Oben rechts KachelX + 1 32705 KachelY 32704 -0.00604005 0.00613588 -0.346069 0.351560
    Unten links KachelX 32704 KachelY + 1 32705 -0.00613592 0.00604001 -0.351562 0.346067
    Unten rechts KachelX + 1 32705 KachelY + 1 32705 -0.00604005 0.00604001 -0.346069 0.346067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00613588-0.00604001) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000     		dl = 610.787769999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00613588-0.00604001) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000     		dr = 610.787769999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00613592--0.00604005) × cos(0.00613588) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.999981175547373 × 6371000     		do = 610.776272254556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00613592--0.00604005) × cos(0.00604001) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.999981759195055 × 6371000     		du = 610.776628739422m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00613588)-sin(0.00604001))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999981175547373-0.999981759195055)×R²
    abs(-0.00604005--0.00613592)×5.83647681628996e-07×R²
    9.58699999999996e-05×5.83647681628996e-07×6371000²
    9.58699999999996e-05×5.83647681628996e-07×40589641000000     		ar = 373054.786453299m²