Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 32832 / 98368
↖ ↑ ↗
← S 66.583217°
W 89.824219°		 ← 121.38 m → S 66.583217°
W 89.821472°		 →
↑
121.37 m
↓
↑
121.37 m
↓
S 66.584309°
W 89.824219°		 ← 121.38 m →
14 731 m²		 S 66.584309°
W 89.821472°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98368 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.250492095947266 y=0.750492095947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.250492095947266 × 217)
    floor (0.250492095947266 × 131072)
    floor (32832.5)     		tx = 32832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750492095947266 × 217)
    floor (0.750492095947266 × 131072)
    floor (98368.5)     		ty = 98368
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 32832 / 98368 ti = "17/32832/98368"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/32832/98368.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32832 ÷ 217
    32832 ÷ 131072     		x = 0.25048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98368 ÷ 217
    98368 ÷ 131072     		y = 0.75048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.25048828125 × 2 - 1) × π
    -0.4990234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.56772837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75048828125 × 2 - 1) × π
    -0.5009765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.57386428832568
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.56772837} λ = -1.56772837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57386428832568))-π/2
    2×atan(0.207242787129374)-π/2
    2×0.20434997955125-π/2
    0.408699959102499-1.57079632675     		φ = -1.16209637
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.56772837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -89.824219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16209637 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.583217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32832 KachelY 98368 -1.56772837 -1.16209637 -89.824219 -66.583217
    Oben rechts KachelX + 1 32833 KachelY 98368 -1.56768043 -1.16209637 -89.821472 -66.583217
    Unten links KachelX 32832 KachelY + 1 98369 -1.56772837 -1.16211542 -89.824219 -66.584309
    Unten rechts KachelX + 1 32833 KachelY + 1 98369 -1.56768043 -1.16211542 -89.821472 -66.584309
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16209637--1.16211542) × R
    1.90499999999094e-05 × 6371000     		dl = 121.367549999423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16209637--1.16211542) × R
    1.90499999999094e-05 × 6371000     		dr = 121.367549999423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.56772837--1.56768043) × cos(-1.16209637) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.39741669477909 × 6371000     		do = 121.381288091178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.56772837--1.56768043) × cos(-1.16211542) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.397399213698184 × 6371000     		du = 121.375948919106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16209637)-sin(-1.16211542))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39741669477909-0.397399213698184)×R²
    abs(-1.56768043--1.56772837)×1.74810809064896e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.74810809064896e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.74810809064896e-05×40589641000000     		ar = 14731.4255507548m²