Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32836 / 32836
↖ ↑ ↗
← S  0.373532°
E  0.373535°		 ← 610.77 m → S  0.373532°
E  0.379028°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
S  0.379025°
E  0.373535°		 ← 610.77 m →
373 054 m²		 S  0.379025°
E  0.379028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32836 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32836 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501045227050781 y=0.501045227050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501045227050781 × 216)
    floor (0.501045227050781 × 65536)
    floor (32836.5)     		tx = 32836
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501045227050781 × 216)
    floor (0.501045227050781 × 65536)
    floor (32836.5)     		ty = 32836
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32836 / 32836 ti = "16/32836/32836"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32836/32836.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32836 ÷ 216
    32836 ÷ 65536     		x = 0.50103759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32836 ÷ 216
    32836 ÷ 65536     		y = 0.50103759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50103759765625 × 2 - 1) × π
    0.0020751953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00651942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50103759765625 × 2 - 1) × π
    -0.0020751953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.00651941834832764
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00651942} λ = 0.00651942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00651941834832764))-π/2
    2×atan(0.993501786952372)-π/2
    2×0.782138477314176-π/2
    1.56427695462835-1.57079632675     		φ = -0.00651937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00651942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.373535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00651937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.373532°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32836 KachelY 32836 0.00651942 -0.00651937 0.373535 -0.373532
    Oben rechts KachelX + 1 32837 KachelY 32836 0.00661529 -0.00651937 0.379028 -0.373532
    Unten links KachelX 32836 KachelY + 1 32837 0.00651942 -0.00661524 0.373535 -0.379025
    Unten rechts KachelX + 1 32837 KachelY + 1 32837 0.00661529 -0.00661524 0.379028 -0.379025
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00651937--0.00661524) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000     		dl = 610.787769999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00651937--0.00661524) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000     		dr = 610.787769999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00651942-0.00661529) × cos(-0.00651937) × R
    9.58700000000005e-05 × 0.99997874898267 × 6371000     		do = 610.774790138518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00651942-0.00661529) × cos(-0.00661524) × R
    9.58700000000005e-05 × 0.999978119379665 × 6371000     		du = 610.774405584703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00651937)-sin(-0.00661524))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99997874898267-0.999978119379665)×R²
    abs(0.00661529-0.00651942)×6.29603004287382e-07×R²
    9.58700000000005e-05×6.29603004287382e-07×6371000²
    9.58700000000005e-05×6.29603004287382e-07×40589641000000     		ar = 373053.654886268m²