Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 32896 / 98432
↖ ↑ ↗
← S 66.652977°
W 89.648437°		 ← 121.01 m → S 66.652977°
W 89.645691°		 →
↑
121.05 m
↓
↑
121.05 m
↓
S 66.654066°
W 89.648437°		 ← 121.01 m →
14 648 m²		 S 66.654066°
W 89.645691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32896 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.250980377197266 y=0.750980377197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.250980377197266 × 217)
    floor (0.250980377197266 × 131072)
    floor (32896.5)     		tx = 32896
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750980377197266 × 217)
    floor (0.750980377197266 × 131072)
    floor (98432.5)     		ty = 98432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 32896 / 98432 ti = "17/32896/98432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/32896/98432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32896 ÷ 217
    32896 ÷ 131072     		x = 0.2509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98432 ÷ 217
    98432 ÷ 131072     		y = 0.7509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2509765625 × 2 - 1) × π
    -0.498046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.56466040
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7509765625 × 2 - 1) × π
    -0.501953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.57693224990137
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.56466040} λ = -1.56466040}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57693224990137))-π/2
    2×atan(0.206607948549754)-π/2
    2×0.203741207457871-π/2
    0.407482414915741-1.57079632675     		φ = -1.16331391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.56466040} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -89.648437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16331391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.652977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32896 KachelY 98432 -1.56466040 -1.16331391 -89.648437 -66.652977
    Oben rechts KachelX + 1 32897 KachelY 98432 -1.56461247 -1.16331391 -89.645691 -66.652977
    Unten links KachelX 32896 KachelY + 1 98433 -1.56466040 -1.16333291 -89.648437 -66.654066
    Unten rechts KachelX + 1 32897 KachelY + 1 98433 -1.56461247 -1.16333291 -89.645691 -66.654066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16331391--1.16333291) × R
    1.89999999999912e-05 × 6371000     		dl = 121.048999999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16331391--1.16333291) × R
    1.89999999999912e-05 × 6371000     		dr = 121.048999999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.56466040--1.56461247) × cos(-1.16331391) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.396299139205757 × 6371000     		do = 121.014709635197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.56466040--1.56461247) × cos(-1.16333291) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.396281694826725 × 6371000     		du = 121.009382784203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16331391)-sin(-1.16333291))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396299139205757-0.396281694826725)×R²
    abs(-1.56461247--1.56466040)×1.74443790324497e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.74443790324497e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.74443790324497e-05×40589641000000     		ar = 14648.387182203m²