Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33216 / 23232
↖ ↑ ↗
← N 46.316584°
E  2.460937°		 ← 421.90 m → N 46.316584°
E  2.466431°		 →
↑
421.89 m
↓
↑
421.89 m
↓
N 46.312790°
E  2.460937°		 ← 421.93 m →
178 000 m²		 N 46.312790°
E  2.466431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.506843566894531 y=0.354499816894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.506843566894531 × 216)
    floor (0.506843566894531 × 65536)
    floor (33216.5)     		tx = 33216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.354499816894531 × 216)
    floor (0.354499816894531 × 65536)
    floor (23232.5)     		ty = 23232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33216 / 23232 ti = "16/33216/23232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33216/23232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33216 ÷ 216
    33216 ÷ 65536     		x = 0.5068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23232 ÷ 216
    23232 ÷ 65536     		y = 0.3544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5068359375 × 2 - 1) × π
    0.013671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.04295146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3544921875 × 2 - 1) × π
    0.291015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.914252549553711
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04295146} λ = 0.04295146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.914252549553711))-π/2
    2×atan(2.49490973340674)-π/2
    2×1.18958660951338-π/2
    2.37917321902677-1.57079632675     		φ = 0.80837689
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04295146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.460937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80837689 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.316584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33216 KachelY 23232 0.04295146 0.80837689 2.460937 46.316584
    Oben rechts KachelX + 1 33217 KachelY 23232 0.04304734 0.80837689 2.466431 46.316584
    Unten links KachelX 33216 KachelY + 1 23233 0.04295146 0.80831067 2.460937 46.312790
    Unten rechts KachelX + 1 33217 KachelY + 1 23233 0.04304734 0.80831067 2.466431 46.312790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80837689-0.80831067) × R
    6.62200000000057e-05 × 6371000     		dl = 421.887620000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80837689-0.80831067) × R
    6.62200000000057e-05 × 6371000     		dr = 421.887620000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04295146-0.04304734) × cos(0.80837689) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.690673121954347 × 6371000     		do = 421.898698742062m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04295146-0.04304734) × cos(0.80831067) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.690721008564614 × 6371000     		du = 421.927950348816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80837689)-sin(0.80831067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.690673121954347-0.690721008564614)×R²
    abs(0.04304734-0.04295146)×4.78866102671116e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.78866102671116e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.78866102671116e-05×40589641000000     		ar = 178000.008403452m²