Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33272 / 23032
↖ ↑ ↗
← N 47.070122°
E  2.768554°		 ← 416.05 m → N 47.070122°
E  2.774048°		 →
↑
416.09 m
↓
↑
416.09 m
↓
N 47.066380°
E  2.768554°		 ← 416.08 m →
173 121 m²		 N 47.066380°
E  2.774048°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507698059082031 y=0.351448059082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507698059082031 × 216)
    floor (0.507698059082031 × 65536)
    floor (33272.5)     		tx = 33272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351448059082031 × 216)
    floor (0.351448059082031 × 65536)
    floor (23032.5)     		ty = 23032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33272 / 23032 ti = "16/33272/23032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33272/23032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33272 ÷ 216
    33272 ÷ 65536     		x = 0.5076904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23032 ÷ 216
    23032 ÷ 65536     		y = 0.3514404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5076904296875 × 2 - 1) × π
    0.015380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.04832039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3514404296875 × 2 - 1) × π
    0.297119140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.933427309401733
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04832039} λ = 0.04832039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.933427309401733))-π/2
    2×atan(2.54321062751401)-π/2
    2×1.19616246595873-π/2
    2.39232493191745-1.57079632675     		φ = 0.82152861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04832039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.768554°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82152861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.070122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33272 KachelY 23032 0.04832039 0.82152861 2.768554 47.070122
    Oben rechts KachelX + 1 33273 KachelY 23032 0.04841627 0.82152861 2.774048 47.070122
    Unten links KachelX 33272 KachelY + 1 23033 0.04832039 0.82146330 2.768554 47.066380
    Unten rechts KachelX + 1 33273 KachelY + 1 23033 0.04841627 0.82146330 2.774048 47.066380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82152861-0.82146330) × R
    6.53099999999851e-05 × 6371000     		dl = 416.090009999905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82152861-0.82146330) × R
    6.53099999999851e-05 × 6371000     		dr = 416.090009999905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04832039-0.04841627) × cos(0.82152861) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.681102773840653 × 6371000     		do = 416.052637432666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04832039-0.04841627) × cos(0.82146330) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.6811505915749 × 6371000     		du = 416.081846966401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82152861)-sin(0.82146330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681102773840653-0.6811505915749)×R²
    abs(0.04841627-0.04832039)×4.78177342475572e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.78177342475572e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.78177342475572e-05×40589641000000     		ar = 173121.423028969m²