Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33279 / 23041
↖ ↑ ↗
← N 47.036438°
E  2.807007°		 ← 416.32 m → N 47.036438°
E  2.812500°		 →
↑
416.28 m
↓
↑
416.28 m
↓
N 47.032695°
E  2.807007°		 ← 416.34 m →
173 310 m²		 N 47.032695°
E  2.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33279 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23041 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507804870605469 y=0.351585388183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507804870605469 × 216)
    floor (0.507804870605469 × 65536)
    floor (33279.5)     		tx = 33279
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351585388183594 × 216)
    floor (0.351585388183594 × 65536)
    floor (23041.5)     		ty = 23041
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33279 / 23041 ti = "16/33279/23041"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33279/23041.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33279 ÷ 216
    33279 ÷ 65536     		x = 0.507797241210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23041 ÷ 216
    23041 ÷ 65536     		y = 0.351577758789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507797241210938 × 2 - 1) × π
    0.015594482421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.04899151
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351577758789062 × 2 - 1) × π
    0.296844482421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.932564445208572
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04899151} λ = 0.04899151}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.932564445208572))-π/2
    2×atan(2.54101712860979)-π/2
    2×1.19586852353291-π/2
    2.39173704706581-1.57079632675     		φ = 0.82094072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04899151} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.807007°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82094072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.036438°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33279 KachelY 23041 0.04899151 0.82094072 2.807007 47.036438
    Oben rechts KachelX + 1 33280 KachelY 23041 0.04908739 0.82094072 2.812500 47.036438
    Unten links KachelX 33279 KachelY + 1 23042 0.04899151 0.82087538 2.807007 47.032695
    Unten rechts KachelX + 1 33280 KachelY + 1 23042 0.04908739 0.82087538 2.812500 47.032695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82094072-0.82087538) × R
    6.53399999999138e-05 × 6371000     		dl = 416.281139999451m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82094072-0.82087538) × R
    6.53399999999138e-05 × 6371000     		dr = 416.281139999451m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04899151-0.04908739) × cos(0.82094072) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.681533102016907 × 6371000     		do = 416.315504036017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04899151-0.04908739) × cos(0.82087538) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.681580915543252 × 6371000     		du = 416.344710999348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82094072)-sin(0.82087538))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681533102016907-0.681580915543252)×R²
    abs(0.04908739-0.04899151)×4.78135263441981e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.78135263441981e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.78135263441981e-05×40589641000000     		ar = 173310.371835436m²