Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33281 / 23039
↖ ↑ ↗
← N 47.043925°
E  2.817993°		 ← 416.21 m → N 47.043925°
E  2.823486°		 →
↑
416.22 m
↓
↑
416.22 m
↓
N 47.040182°
E  2.817993°		 ← 416.24 m →
173 241 m²		 N 47.040182°
E  2.823486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507835388183594 y=0.351554870605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507835388183594 × 216)
    floor (0.507835388183594 × 65536)
    floor (33281.5)     		tx = 33281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351554870605469 × 216)
    floor (0.351554870605469 × 65536)
    floor (23039.5)     		ty = 23039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33281 / 23039 ti = "16/33281/23039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33281/23039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33281 ÷ 216
    33281 ÷ 65536     		x = 0.507827758789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23039 ÷ 216
    23039 ÷ 65536     		y = 0.351547241210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507827758789062 × 2 - 1) × π
    0.015655517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.04918326
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351547241210938 × 2 - 1) × π
    0.296905517578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.932756192807053
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04918326} λ = 0.04918326}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.932756192807053))-π/2
    2×atan(2.54150440925785)-π/2
    2×1.19593386011643-π/2
    2.39186772023285-1.57079632675     		φ = 0.82107139
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04918326} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.817993°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82107139 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.043925°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33281 KachelY 23039 0.04918326 0.82107139 2.817993 47.043925
    Oben rechts KachelX + 1 33282 KachelY 23039 0.04927913 0.82107139 2.823486 47.043925
    Unten links KachelX 33281 KachelY + 1 23040 0.04918326 0.82100606 2.817993 47.040182
    Unten rechts KachelX + 1 33282 KachelY + 1 23040 0.04927913 0.82100606 2.823486 47.040182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82107139-0.82100606) × R
    6.53299999999746e-05 × 6371000     		dl = 416.217429999838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82107139-0.82100606) × R
    6.53299999999746e-05 × 6371000     		dr = 416.217429999838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04918326-0.04927913) × cos(0.82107139) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.681437473554147 × 6371000     		do = 416.213674866562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04918326-0.04927913) × cos(0.82100606) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.681485285580883 × 6371000     		du = 416.242877867752m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82107139)-sin(0.82100606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681437473554147-0.681485285580883)×R²
    abs(0.04927913-0.04918326)×4.78120267366489e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78120267366489e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78120267366489e-05×40589641000000     		ar = 173241.463544495m²