Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33282 / 22022
↖ ↑ ↗
← N 50.715591°
E  2.823486°		 ← 386.77 m → N 50.715591°
E  2.828980°		 →
↑
386.78 m
↓
↑
386.78 m
↓
N 50.712113°
E  2.823486°		 ← 386.80 m →
149 603 m²		 N 50.712113°
E  2.828980°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507850646972656 y=0.336036682128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507850646972656 × 216)
    floor (0.507850646972656 × 65536)
    floor (33282.5)     		tx = 33282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336036682128906 × 216)
    floor (0.336036682128906 × 65536)
    floor (22022.5)     		ty = 22022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33282 / 22022 ti = "16/33282/22022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33282/22022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33282 ÷ 216
    33282 ÷ 65536     		x = 0.507843017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22022 ÷ 216
    22022 ÷ 65536     		y = 0.336029052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507843017578125 × 2 - 1) × π
    0.01568603515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.04927913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336029052734375 × 2 - 1) × π
    0.32794189453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.03025984663425
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04927913} λ = 0.04927913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03025984663425))-π/2
    2×atan(2.80179377680109)-π/2
    2×1.22797518707496-π/2
    2.45595037414991-1.57079632675     		φ = 0.88515405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04927913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.823486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88515405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.715591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33282 KachelY 22022 0.04927913 0.88515405 2.823486 50.715591
    Oben rechts KachelX + 1 33283 KachelY 22022 0.04937501 0.88515405 2.828980 50.715591
    Unten links KachelX 33282 KachelY + 1 22023 0.04927913 0.88509334 2.823486 50.712113
    Unten rechts KachelX + 1 33283 KachelY + 1 22023 0.04937501 0.88509334 2.828980 50.712113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88515405-0.88509334) × R
    6.07100000000749e-05 × 6371000     		dl = 386.783410000477m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88515405-0.88509334) × R
    6.07100000000749e-05 × 6371000     		dr = 386.783410000477m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04927913-0.04937501) × cos(0.88515405) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.633170272370695 × 6371000     		do = 386.772997969641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04927913-0.04937501) × cos(0.88509334) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.6332172615049 × 6371000     		du = 386.801701351813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88515405)-sin(0.88509334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633170272370695-0.6332172615049)×R²
    abs(0.04937501-0.04927913)×4.69891342044226e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.69891342044226e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.69891342044226e-05×40589641000000     		ar = 149602.930092718m²