Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33282 / 23042
↖ ↑ ↗
← N 47.032695°
E  2.823486°		 ← 416.34 m → N 47.032695°
E  2.828980°		 →
↑
416.34 m
↓
↑
416.34 m
↓
N 47.028951°
E  2.823486°		 ← 416.37 m →
173 349 m²		 N 47.028951°
E  2.828980°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507850646972656 y=0.351600646972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507850646972656 × 216)
    floor (0.507850646972656 × 65536)
    floor (33282.5)     		tx = 33282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351600646972656 × 216)
    floor (0.351600646972656 × 65536)
    floor (23042.5)     		ty = 23042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33282 / 23042 ti = "16/33282/23042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33282/23042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33282 ÷ 216
    33282 ÷ 65536     		x = 0.507843017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23042 ÷ 216
    23042 ÷ 65536     		y = 0.351593017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507843017578125 × 2 - 1) × π
    0.01568603515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.04927913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351593017578125 × 2 - 1) × π
    0.29681396484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.932468571409332
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04927913} λ = 0.04927913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.932468571409332))-π/2
    2×atan(2.5407735233216)-π/2
    2×1.19583585180294-π/2
    2.39167170360588-1.57079632675     		φ = 0.82087538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04927913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.823486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82087538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.032695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33282 KachelY 23042 0.04927913 0.82087538 2.823486 47.032695
    Oben rechts KachelX + 1 33283 KachelY 23042 0.04937501 0.82087538 2.828980 47.032695
    Unten links KachelX 33282 KachelY + 1 23043 0.04927913 0.82081003 2.823486 47.028951
    Unten rechts KachelX + 1 33283 KachelY + 1 23043 0.04937501 0.82081003 2.828980 47.028951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82087538-0.82081003) × R
    6.53500000000751e-05 × 6371000     		dl = 416.344850000478m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82087538-0.82081003) × R
    6.53500000000751e-05 × 6371000     		dr = 416.344850000478m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04927913-0.04937501) × cos(0.82087538) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.681580915543252 × 6371000     		do = 416.344710999348m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04927913-0.04937501) × cos(0.82081003) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.681628733476694 × 6371000     		du = 416.373920654762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82087538)-sin(0.82081003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681580915543252-0.681628733476694)×R²
    abs(0.04937501-0.04927913)×4.7817933442551e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.7817933442551e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.7817933442551e-05×40589641000000     		ar = 173349.056956081m²