Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33283 / 22021
↖ ↑ ↗
← N 50.719069°
E  2.828980°		 ← 386.70 m → N 50.719069°
E  2.834473°		 →
↑
386.72 m
↓
↑
386.72 m
↓
N 50.715591°
E  2.828980°		 ← 386.73 m →
149 552 m²		 N 50.715591°
E  2.834473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33283 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22021 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507865905761719 y=0.336021423339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507865905761719 × 216)
    floor (0.507865905761719 × 65536)
    floor (33283.5)     		tx = 33283
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336021423339844 × 216)
    floor (0.336021423339844 × 65536)
    floor (22021.5)     		ty = 22021
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33283 / 22021 ti = "16/33283/22021"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33283/22021.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33283 ÷ 216
    33283 ÷ 65536     		x = 0.507858276367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22021 ÷ 216
    22021 ÷ 65536     		y = 0.336013793945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507858276367188 × 2 - 1) × π
    0.015716552734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.04937501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336013793945312 × 2 - 1) × π
    0.327972412109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.03035572043349
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04937501} λ = 0.04937501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03035572043349))-π/2
    2×atan(2.80206240829231)-π/2
    2×1.22800553816867-π/2
    2.45601107633734-1.57079632675     		φ = 0.88521475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04937501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.828980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88521475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.719069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33283 KachelY 22021 0.04937501 0.88521475 2.828980 50.719069
    Oben rechts KachelX + 1 33284 KachelY 22021 0.04947088 0.88521475 2.834473 50.719069
    Unten links KachelX 33283 KachelY + 1 22022 0.04937501 0.88515405 2.828980 50.715591
    Unten rechts KachelX + 1 33284 KachelY + 1 22022 0.04947088 0.88515405 2.834473 50.715591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88521475-0.88515405) × R
    6.07000000000246e-05 × 6371000     		dl = 386.719700000157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88521475-0.88515405) × R
    6.07000000000246e-05 × 6371000     		dr = 386.719700000157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04937501-0.04947088) × cos(0.88521475) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.633123288643322 × 6371000     		do = 386.703961605541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04937501-0.04947088) × cos(0.88515405) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.633170272370695 × 6371000     		du = 386.732658691609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88521475)-sin(0.88515405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633123288643322-0.633170272370695)×R²
    abs(0.04947088-0.04937501)×4.69837273728846e-05×R²
    9.58700000000048e-05×4.69837273728846e-05×6371000²
    9.58700000000048e-05×4.69837273728846e-05×40589641000000     		ar = 149551.588931334m²