Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33283 / 23043
↖ ↑ ↗
← N 47.028951°
E  2.828980°		 ← 416.33 m → N 47.028951°
E  2.834473°		 →
↑
416.34 m
↓
↑
416.34 m
↓
N 47.025206°
E  2.828980°		 ← 416.36 m →
173 343 m²		 N 47.025206°
E  2.834473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33283 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23043 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507865905761719 y=0.351615905761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507865905761719 × 216)
    floor (0.507865905761719 × 65536)
    floor (33283.5)     		tx = 33283
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351615905761719 × 216)
    floor (0.351615905761719 × 65536)
    floor (23043.5)     		ty = 23043
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33283 / 23043 ti = "16/33283/23043"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33283/23043.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33283 ÷ 216
    33283 ÷ 65536     		x = 0.507858276367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23043 ÷ 216
    23043 ÷ 65536     		y = 0.351608276367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507858276367188 × 2 - 1) × π
    0.015716552734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.04937501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351608276367188 × 2 - 1) × π
    0.296783447265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.932372697610092
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04937501} λ = 0.04937501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.932372697610092))-π/2
    2×atan(2.54052994138766)-π/2
    2×1.19580317778081-π/2
    2.39160635556162-1.57079632675     		φ = 0.82081003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04937501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.828980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82081003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.028951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33283 KachelY 23043 0.04937501 0.82081003 2.828980 47.028951
    Oben rechts KachelX + 1 33284 KachelY 23043 0.04947088 0.82081003 2.834473 47.028951
    Unten links KachelX 33283 KachelY + 1 23044 0.04937501 0.82074468 2.828980 47.025206
    Unten rechts KachelX + 1 33284 KachelY + 1 23044 0.04947088 0.82074468 2.834473 47.025206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82081003-0.82074468) × R
    6.5349999999964e-05 × 6371000     		dl = 416.344849999771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82081003-0.82074468) × R
    6.5349999999964e-05 × 6371000     		dr = 416.344849999771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04937501-0.04947088) × cos(0.82081003) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.681628733476694 × 6371000     		do = 416.330494088175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04937501-0.04947088) × cos(0.82074468) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.681676548499157 × 6371000     		du = 416.359698919118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82081003)-sin(0.82074468))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681628733476694-0.681676548499157)×R²
    abs(0.04947088-0.04937501)×4.78150224633156e-05×R²
    9.58700000000048e-05×4.78150224633156e-05×6371000²
    9.58700000000048e-05×4.78150224633156e-05×40589641000000     		ar = 173343.13681323m²