Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33288 / 23047
↖ ↑ ↗
← N 47.013971°
E  2.856446°		 ← 416.45 m → N 47.013971°
E  2.861939°		 →
↑
416.47 m
↓
↑
416.47 m
↓
N 47.010226°
E  2.856446°		 ← 416.48 m →
173 445 m²		 N 47.010226°
E  2.861939°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507942199707031 y=0.351676940917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507942199707031 × 216)
    floor (0.507942199707031 × 65536)
    floor (33288.5)     		tx = 33288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351676940917969 × 216)
    floor (0.351676940917969 × 65536)
    floor (23047.5)     		ty = 23047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33288 / 23047 ti = "16/33288/23047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33288/23047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33288 ÷ 216
    33288 ÷ 65536     		x = 0.5079345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23047 ÷ 216
    23047 ÷ 65536     		y = 0.351669311523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5079345703125 × 2 - 1) × π
    0.015869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.04985438
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351669311523438 × 2 - 1) × π
    0.296661376953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.931989202413132
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04985438} λ = 0.04985438}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.931989202413132))-π/2
    2×atan(2.53955584714957)-π/2
    2×1.19567245877023-π/2
    2.39134491754046-1.57079632675     		φ = 0.82054859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04985438} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.856446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82054859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.013971°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33288 KachelY 23047 0.04985438 0.82054859 2.856446 47.013971
    Oben rechts KachelX + 1 33289 KachelY 23047 0.04995025 0.82054859 2.861939 47.013971
    Unten links KachelX 33288 KachelY + 1 23048 0.04985438 0.82048322 2.856446 47.010226
    Unten rechts KachelX + 1 33289 KachelY + 1 23048 0.04995025 0.82048322 2.861939 47.010226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82054859-0.82048322) × R
    6.53700000000645e-05 × 6371000     		dl = 416.472270000411m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82054859-0.82048322) × R
    6.53700000000645e-05 × 6371000     		dr = 416.472270000411m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04985438-0.04995025) × cos(0.82054859) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.681820005359432 × 6371000     		do = 416.447320614896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04985438-0.04995025) × cos(0.82048322) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.681867823363663 × 6371000     		du = 416.476527267067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82054859)-sin(0.82048322))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681820005359432-0.681867823363663)×R²
    abs(0.04995025-0.04985438)×4.78180042314813e-05×R²
    9.58700000000048e-05×4.78180042314813e-05×6371000²
    9.58700000000048e-05×4.78180042314813e-05×40589641000000     		ar = 173444.842894198m²